Question

如圖（1），△ABD和△CEF是兩個(gè)全等的等腰三角形，AB=AD=CE=CF，固定△ABD．
（1）操作：如圖（2），將△CEF的頂點(diǎn)F固定在△ABD的邊BD的中點(diǎn)處，△CEF繞點(diǎn)F在BD邊上方左右旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)FC交BA于點(diǎn)H（H點(diǎn)不與B點(diǎn)重合），F(xiàn)E交DA于點(diǎn)G（G點(diǎn)不與D點(diǎn)重合）．求證：△BHF∽△DFG．
（2）操作：如圖（3），△ECF的頂點(diǎn)F在△ABD的邊BD上滑動(dòng)（F點(diǎn)不與B、D點(diǎn)重合），且CF始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AG∥CE，交FE于點(diǎn)G，連接DG．求證：FD+DG=EF=DB．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)以及相似三角形的判定證明△BFH∽△DGF即可；
（2）利用已知以及平行線(xiàn)的性質(zhì)證明△ABF≌△ADG，即可證明FD+DG=EF=DB．

解答：證明：（1）∵△ABD和△CEF是兩個(gè)全等的等腰三角形，
∴∠B=∠D，∠B=∠HFG，
∵∠HFG+∠GFD=∠B+∠BHF
∴∠GFD=∠BHF，
∴△BFH∽△DGF，

（2）∵AG∥CE，
∴∠AGF=∠E，∠FAG=∠C，
又∵∠E=∠CFE，
∴∠AGF=∠CFE，
∴AF=AG
∵∠BAD=∠C，
∴∠BAD=∠FAG，
∴∠BAD-∠FAD=∠FAG-∠FAD，
即∠BAF=∠DAG
又∵AB=AD
∴△ABF≌△ADG，
∴FB=DG，
∴FD+DG=BD=EF．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定以及全等三角形的判定，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAF=∠DAG是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．