Question

8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC是平行四邊形，A、C兩點的坐標分別為（4，0），（-2，-3），拋物線經(jīng)過O、A、C三點，D是拋物線的頂點．
（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）將拋物線和□OABC一起先向右平移4個單位后，再向上平移m（0＜m＜4）個單位，得到一條新的拋物線和?O′A′B′C′，在向上平移的過程中，設?O′A′B′C′與□OABC的重疊部分的面積為S，試探究：當m為何值時S有最大值，并求出S的最大值；
（3）在（2）的條件下，當S取最大值時，設此時拋物線的頂點為E，若點M是x軸上的動點，點N是拋物線上的一動點，且在x軸上方，試判斷是否存在這樣的點M和點N，使得以D、E、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，進而求出頂點D的坐標；
（2）由平移性質，可知重疊部分為一平行四邊形．如圖2，作輔助線，利用相似比例式求出平行四邊形的邊長和高，從而求得其面積的表達式；然后利用二次函數(shù)的性質求出最值；
（3）本問涉及兩個動點，解題關鍵是利用平行四邊形的判定與性質，區(qū)分點N在x軸上方、下方兩種情況，分類討論，避免漏解．設M（t，0），利用全等三角形求出點N的坐標，代入拋物線W′的解析式求出t的值，從而求得點M的坐標．

解答 解：（1）設拋物線W的解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線經(jīng)過O（0，0）、A（4，0）、C（-2，-3）三點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{4a-2b+c=-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=1}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴拋物線W的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+x，
∴頂點D的坐標為（2，1）．
（2）由?OABC得，CB∥OA，CB=OA=4．
又∵C點坐標為（-2，-3），
∴B點的坐標為（2，-3）．
如圖1，


過點B作BE'⊥x軸于點E'，由平移可知，點C′在BE'上，且BC′=m．
∴BE'=3，OE'=2，∴E'A=OA-OE'=2．
∵C′B′∥x軸，
∴△BC′G∽△BE'A，
∴$\frac{BC'}{BE'}=\frac{C'G}{E'A}$，
∴$\frac{m}{3}=\frac{C′G}{2}$，
∴C′G=$\frac{2}{3}$m．
由平移知，?O′A′B′C′與?OABC的重疊部分四邊形C′FAG是平行四邊形．
∴S=C′G•C′E'=$\frac{2}{3}$m（3-m）=-$\frac{2}{3}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，
∴當m=$\frac{3}{2}$時，S有最大值為$\frac{3}{2}$．

（3）答：存在．
在（2）的條件下，拋物線W向右平移4個單位，再向上平移$\frac{3}{2}$個單位，得到拋物線W′，
∵D（2，1），∴E（6，$\frac{5}{2}$）；
∴拋物線W′的解析式為：y=-$\frac{1}{4}$（x-6）²+$\frac{5}{2}$．
設M（t，0），
以D、E、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，
①若點N在x軸下方，如圖2所示：
  
過點D作DP∥y軸，過點F作FP⊥DP于點P，
∵D（2，1），F(xiàn)（6，$\frac{5}{2}$），∴DP=$\frac{3}{2}$，F(xiàn)P=4；
過點N作NQ⊥x軸于點Q，
由四邊形EDMN為平行四邊形，易證△DEP≌△NMQ，
∴MQ=EP=4，NQ=DP=$\frac{3}{2}$，
∴N（4+t，$\frac{3}{2}$），
將點N坐標代入拋物線W′的解析式y(tǒng)=-$\frac{1}{4}$（x-6）²+$\frac{5}{2}$，得：-$\frac{1}{4}$（t-2）²+$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$，
解得：t=0或t=4，
∴點M的坐標為（0，0）或（4，0），
②若點N在x軸上方，
與①同理，得N（t-4，-$\frac{3}{2}$）
將點N坐標代入拋物線W′的解析式y(tǒng)=-$\frac{1}{4}$（x-6）²+$\frac{5}{2}$，得：-$\frac{1}{4}$（t-10）²+$\frac{5}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
解得：t=6或t=14，
∴點M的坐標為（6，0）或（14，0）．
綜上所述，存在這樣的點M和點N，點M的坐標分別為（0，0），（4，0），（6，0），（14，0）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求解析式，拋物線的性質，相似三角形的性質和判定，解本題的關鍵是相似三角形的判定．