Question

【題目】如圖，AB為等腰直角△ABC的斜邊（AB為定長(zhǎng)線段），E為AB的中點(diǎn)，F為AC延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段FB的垂直平分線交線段CE于點(diǎn)O，D為垂足，當(dāng)F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，給出下列四個(gè)結(jié)論，其中一定正確的結(jié)論有_____（請(qǐng)?zhí)顚懻�確序號(hào)）

①O為△ABF的外心；②OF⊥OB；③CE+FC＝AB；④FCOB＝OEFB

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①只要證明OA=OB=OF即可．②利用“8字型”證明∠FCJ=∠JOB=90°即可．③先證明 EC+CF=AF，再判斷．④正確．證明△OEB∽△FCB即可．

如圖，連接AO．

∵CA＝CB，AE＝EB，

∴CE⊥AB，

∴OA＝OB，

∵OD垂直平分線段BF，

∴OF＝OB，

∴OA＝OF＝OB，

∴點(diǎn)O是△ABF的外心，故①正確，

設(shè)BC交OF于J．

∵AC＝BC，CO＝CO，AO＝BO，

∴△ACO≌△BCO（SSS），

∴∠CAO＝∠CBO，

∵OA＝OF，

∴∠CAO＝∠CFJ，

∴∠CFJ＝∠OBJ，

∵∠CJF＝∠OJB，

∴∠JOB＝∠JCF＝90°，

∴OF⊥OB，故②正確，

∵CE＝AC，AC+CF＝AF，

顯然AF不一定等于AB，故③錯(cuò)誤．

∵∠EBC＝∠OBF＝45°，

∴∠EBO＝∠CBF，

∵∠OEB＝∠FCB＝90°，

∴△OEB∽△FCB，

∴ ∴FCOB＝OEFB，故④正確，

故答案為：①②④．