【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,將一塊腰長(zhǎng)為5的等腰直角三角板ABC放在第二象限,且斜靠在兩坐標(biāo)軸上,直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣1,0),點(diǎn)B在拋物線y=ax2+ax﹣2上.
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ,點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ;
(2)拋物線的關(guān)系式為 ;
(3)設(shè)(2)中拋物線的頂點(diǎn)為D,求△DBC的面積;
(4)將三角板ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,到達(dá)△AB′C的位置.請(qǐng)判斷點(diǎn)B′C′是否在(2)中的拋物線上,并說明理由.
【答案】(1)(0,2),(﹣3,1);
(2)y=0.5x2+0.5x﹣2;
(3)S△BCD=;
(4)點(diǎn)B′、C′在(2)中的拋物線上.理由見解析.
【解析】分析:(1)求A點(diǎn)的坐標(biāo)就是求OA的長(zhǎng),可在直角三角形OAC中,根據(jù)AC=5,OC=1來求出OA的長(zhǎng),即可得出A的坐標(biāo).如果過B作x軸的垂線,假設(shè)垂足為F,那么△ACO≌△CBH,OA=CF,BF=OC,由此可求出B的坐標(biāo);
(2)將已經(jīng)求出的A,B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出拋物線的解析式;
(3)根據(jù)(2)的函數(shù)關(guān)系式即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo).求△DBC的面積時(shí),可將△DBC分成△CBE和△DCE兩部分(假設(shè)BD交x軸于E).可先根據(jù)B,D的坐標(biāo)求出BD所在直線的解析式,進(jìn)而求出E點(diǎn)的坐標(biāo),那么可求出CE的長(zhǎng),然后以B,D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值分別作為△BCE和△DCE的高,即可求出△DBC的面積;(4)本題的關(guān)鍵是求出B′,C′兩點(diǎn)的坐標(biāo).過點(diǎn)B′作B′M⊥y軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)B作BN⊥y軸于點(diǎn)N,過點(diǎn)C″作C″P⊥y軸于點(diǎn)P.然后仿照(1)中求坐標(biāo)時(shí)的方法,通過證Rt△AB′M≌Rt△BAN來得出B′的坐標(biāo).同理可得出C′的坐標(biāo).然后將兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式中,進(jìn)而可判斷出兩點(diǎn)是否在拋物線上.
本題解析:(1)∵C(1,0),∴OC=1,∵AC= ,∴OA==2,∴A(0,2),
作BH⊥x軸于H,如圖1,∵△ACB為等腰直角三角形,∴CA=CB,∠ACB=90°,
∵∠ACO+∠BCH=90°,∠ACO+∠CAO=90°,∴∠CAO=∠BCH,
在△ACO和△CBH中,∴△ACO≌△CBH,∴OC=BH=1,AO=CH=2,∴B(﹣3,1);
故答案為(0,2),(﹣3,1);
(2)把B(﹣3,1)代入y=ax2+ax﹣2得9a﹣3a﹣2=1,解得a=0.5,∴拋物線解析式為y=0.5x2+0.5x﹣2;
故答案為y=0.5x2+0.5x﹣2;
(3)∵y=0.5x2+0.5x﹣2=0.5(x+0.5)2﹣ ,∴D(﹣0.5,﹣),設(shè)直線BD的關(guān)系式為y=kx+b,
將B(﹣3,1)、D(﹣0.5,﹣ )代入得 ,解得,
∴BD的關(guān)系式為y=﹣ x﹣ ;直線BD和x軸交點(diǎn)為E,如圖1,
當(dāng)y=0時(shí),﹣x﹣=0,解得x=﹣2.2,則E(﹣2.2,0),
∴S△BCD=S△BCE+S△DCE=0.5·(﹣1+2.2)·1+0.5·(﹣1+2.2)·=;
(4)點(diǎn)B′、C′在(2)中的拋物線上.理由如下:
如圖2,過點(diǎn)B′作B′N⊥y軸于點(diǎn)N,過點(diǎn)B作BF⊥y軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)C′作C′M⊥y軸于點(diǎn)M,
∵三角板ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,到達(dá)△AB′C的位置,
∴∠CAC′=90°,∠BAB′=90°,AC=AC′,AB=AB′,
∵∠BAF+∠B′AN=90°,∠BAF+∠ABF=90°,∴∠ABF=∠B′AN,
在Rt△AB′N與Rt△BAF中, ,∴Rt△AB′N≌Rt△BAF,
∴B′N=AF=2,AN=BF=3,∴B′(1,﹣1),同理可得△AC′M≌△CAO,
∴C′M=OA=2,AM=OC=1,∴C′(2,1),
當(dāng)x=1時(shí),y=x2+x﹣2=+﹣2=﹣1,所以點(diǎn)B′(1,﹣1)在拋物線上,
當(dāng)x=2時(shí),y=x2+x﹣2=2+1﹣2=1,所以點(diǎn)C′(2,1)在拋物線上.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,五邊形ABCDE中,AB∥CD,∠1,∠2,∠3分別是∠BAE,∠AED,∠EDC的外角,則∠1+∠2+∠3= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知∠MAN=120°,AC平分∠MAN.B,D分別在射線AN,AM上.
(1)在圖(1)中,當(dāng)∠ABC=∠ADC=90°時(shí),求證:AD+AB=AC.
(2)若把(1)中的條件“∠ABC=∠ADC=90°”改為∠ABC+∠ADC=180°,其他條件不變,如圖(2)所示.則(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.
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【題目】如圖,點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn),OP=5cm,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn),△PMN周長(zhǎng)的最小值是5cm,則∠AOB的度數(shù)是( )
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列由四舍五入得到的近似數(shù)說法正確的是( )
A. 0.520精確到百分位
B. 3.056×104精確到千分位
C. 6.3萬精確到十分位
D. 1.50精確到0.01
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=﹣(x﹣1)2+3,當(dāng)t<x<4時(shí),y隨x的增大而減小,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是( 。
A.t<0B.0≤t<1C.1≤t<4D.t≥4
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