Question

【題目】如圖，在⊙O中，弦AB與弦CD相交于點G，OA⊥CD于點E，過點B的直線與CD的延長線交于點F，AC∥BF．

（1）若∠FGB=∠FBG，求證：BF是⊙O的切線；

（2）若tan∠F=，CD=a，請用a表示⊙O的半徑；

（3）求證：GF2﹣GB2=DFGF．

Answer 1

【答案】（1）根據(jù)等邊對等角可得∠OAB=∠OBA，然后根據(jù)OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°，從而推出∠FBG+∠OBA=90°，從而得到OB⊥FB，再根據(jù)切線的定義證明即可。

（2）

（3）連接BD，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等可得∠DBG=∠ACF，然后求出∠DBG=∠F，從而求出△BDG和△FBG相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式表示出BG2，然后代入等式左邊整理即可得證。

【解析】

（1）根據(jù)等邊對等角可得∠OAB=∠OBA，然后根據(jù)OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°，從而推出∠FBG+∠OBA=90°，從而得到OB⊥FB，再根據(jù)切線的定義證明即可。

（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ACF=∠F，根據(jù)垂徑定理可得CE=CD=a，連接OC，設(shè)圓的半徑為r，表示出OE，然后利用勾股定理列式計算即可求出r。

（3）連接BD，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等可得∠DBG=∠ACF，然后求出∠DBG=∠F，從而求出△BDG和△FBG相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式表示出BG2，然后代入等式左邊整理即可得證。

解：（1）證明：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA。

∵OA⊥CD，∴∠OAB+∠AGC=90°。

又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC，

∴∠FBG+∠OBA=90°，即∠OBF=90°。∴OB⊥FB。

∵AB是⊙O的弦，∴點B在⊙O上。∴BF是⊙O的切線。

（2）∵AC∥BF，∴∠ACF=∠F。

∵CD=a，OA⊥CD，∴CE=CD=a。

∵tan∠F=，∴，即。

解得。

連接OC，設(shè)圓的半徑為r，則，

在Rt△OCE中，，即，解得。

（3）證明：連接BD，

∵∠DBG=∠ACF，∠ACF=∠F（已證），∴∠DBG=∠F。

又∵∠F=∠F，∴△BDG∽△FBG。

∴，即GB2=DGGF。

∴GF2﹣GB2=GF2﹣DGGF=GF（GF﹣DG）=GFDF，即GF2﹣GB2=DFGF。