Question

如圖，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，O是BC邊上的中點(diǎn)，N是AB邊上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），M是OB邊上的點(diǎn)，且MN∥AO，延長(zhǎng)CA與直線MN相交于點(diǎn)D，G點(diǎn)是AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且BG=AN，連接MG，設(shè)AN=x，BM=y．

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；

（2）連接CN，當(dāng)以DN為半徑的⊙D和以MG為半徑的⊙M外切時(shí)，求∠ACN的正切值；

（3）當(dāng)△ADN與△MBG相似時(shí)，求AN的長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

（1）y=（0＜x＜6）      （2）tan∠ACN=

（3）AN的長(zhǎng)為2或

【解析】

試題分析：（1）解：∵M(jìn)N∥AO，

∴△BMN∽△BOA，

∴=，

∵∠C=90°，AC=BC，AB=6，

∴由勾股定理得：BC=3，

∵O是BC邊上的中點(diǎn)，

∴BO=，

∵AN=x，BM=y，

∴=，

∴y=（0＜x＜6）；

（2）解：

∵以DN為半徑的⊙D和以MG為半徑的⊙M外切，

∴DN+MG=DM，又DN+MN=DM，

∴MG=MN，

∴∠MNG=∠G，

又∵∠MNG=∠AND，

∴∠AND=∠G，

∵AC=BC，

∴∠CAB=∠CBA，

∴∠DAN=∠MBG，

又∵AN=BG，

∴△AND≌△BGM，

∴DN=MG=MN，

∵∠ACB=90°，

∴CN=DN，

∴∠ACN=∠D，

∵∠ACB=90°，AC=BC，O是BC邊上的中點(diǎn)，

∴tan∠CAO==，

∵M(jìn)N∥AO，

∴∠CAO=∠D，

∴∠CAO=∠ACN，

∴tan∠ACN=；

（3）解：∵∠DAN=∠MBG，當(dāng)△ADN與△MBG相似時(shí)，分為兩種情況：

①若∠D=∠BMG時(shí)，過(guò)點(diǎn)G作GE⊥CB，垂足為點(diǎn)E，

tan∠BMG==，

∵∠ACB=90°，GE⊥BC，

∴AC∥GE，

∴∠BGE=∠CAB=45°，

∵∠ABC=∠GBE=45°，

∴∠ABC=∠GBE=∠BGE=45°，

∴BE=EG，

∴BM=BE，

∴由勾股定理得：y=x，

∵由（1）知：y=，

∴解得：x=2；

②若∠D=∠G時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，

∴tan∠G==，

∴FG=2MF，

∵∠C=90°，AC=BC，

∴∠MBF=∠CAB=45°，

∵∠MFB=90°，

∴∠FMB=∠MBF=45°，

∴BF=MF，

∵FG=2MF=BF+BG，

∴BF=BG，

∴x=y，

由（1）知：y=，

∴解得：x=；

綜上所述，當(dāng)△ADN與△MBG相似時(shí)，AN的長(zhǎng)為2或．

考點(diǎn)：相似形綜合題；平行線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定與性質(zhì)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大，分類討論思想的運(yùn)用．