Question

如圖1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，∠DEF=45°且角的兩邊分別與邊AB，射線CA交于點(diǎn)P，Q.

（1）如圖2，若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，將∠DEF繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，DE與邊AB交于點(diǎn)P，EF與CA的延長線交于點(diǎn)Q.設(shè)BP為x，CQ為y，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）如圖3，點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng)（不與B，C重合），且DE始終經(jīng)過點(diǎn)A,EF與邊AC交于Q點(diǎn)．探究：在∠DEF運(yùn)動(dòng)過程中，△AEQ能否構(gòu)成等腰三角形，若能，求出BE的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵ ∠BAC=90°，AB=AC=2，

∴ ∠B=∠C，．

又∵,,

∴ ∠DEB=∠EQC.

∴ △BPE∽△CEQ．

∴ ．

設(shè)BP為x，CQ為y，

∴ ．

∴ ．

自變量x的取值范圍是0＜x＜1．      ……………………………..3分

（2）解：∵ ∠AEF=∠B=∠C,且∠AQE＞∠C,

∴ ∠AQE＞∠AEF .

∴ AE≠AQ .

當(dāng)AE=EQ時(shí)，可證△ABE≌ECQ.

∴ CE=AB=2 .

∴ BE=BC-EC=.

當(dāng)AQ=EQ時(shí)，可知∠QAE=∠QEA=45°.

∴ AE⊥BC .

∴ 點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).

∴ BE=.                  

        綜上，在∠DEF運(yùn)動(dòng)過程中，△AEQ能成等腰三角形，此時(shí)BE的長為 或.                             ……………………………..7分