【題目】如圖,在直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx-2與x軸交于點A(-3,0)、B(1,0),與y軸交于點C.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式.
(2)在拋物線上是否存在點D,使得△ABD的面積等于△ABC的面積的倍?若存在,求出點D的坐標;若不存在,請說明理由.
(3)若點E是以點C為圓心且1為半徑的圓上的動點,點F是AE的中點,請直接寫出線段OF的最大值和最小值.
【答案】(1);(2)存在,理由見解析;D(-4, )或(2,);(3)最大值; 最小值
【解析】
(1)將點A、B的坐標代入函數(shù)解析式計算即可得到;
(2)點D應(yīng)在x軸的上方或下方,在下方時通過計算得△ABD的面積是△ABC面積的倍,判斷點D應(yīng)在x軸的上方,設(shè)設(shè)D(m,n),根據(jù)面積關(guān)系求出m、n的值即可得到點D的坐標;
(3)設(shè)E(x,y),由點E是以點C為圓心且1為半徑的圓上的動點,用兩點間的距離公式得到點E的坐標為E,再根據(jù)點F是AE中點表示出點F的坐標,再設(shè)設(shè)F(m,n),再利用m、n、與x的關(guān)系得到n=,通過計算整理得出,由此得出F點的軌跡是以為圓心,以為半徑的圓,再計算最大值與最小值即可.
解:(1)將點A(-3,0)、B(1,0)代入y=ax2+bx-2中,得
,解得,
∴
(2)若D在x軸的下方,當D為拋物線頂點(-1,)時,,
△ABD的面積是△ABC面積的倍,
,所以D點一定在x軸上方.
設(shè)D(m,n), △ABD的面積是△ABC面積的倍,
n=
=m=-4或m=2
D(-4, )或(2,)
(3)設(shè)E(x,y),
∵點E是以點C為圓心且1為半徑的圓上的動點,
∴,
∴y=,
∴E,
∵F是AE的中點,
∴F的坐標,
設(shè)F(m,n),
∴m=,n=,
∴x=2m+3,
∴n=,
∴2n+2=,
∴(2n+2)2=1-(2m+3)2,
∴4(n+1)2+4()2=1,
∴,
∴F點的軌跡是以為圓心,以為半徑的圓,
∴最大值:,
最小值:
最大值; 最小值
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C是的中點,連接AC并延長至點D,使CD=AC,點E是OB上一點,且,CE的延長線交DB的延長線于點F,AF交⊙O于點H,連接BH.
(1)求證:BD是⊙O的切線;(2)當OB=2時,求BH的長.
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【題目】如圖,是等邊三角形,點,分別在上,且,與相交于點.
(1)求證:;
(2)如圖2,將沿直線翻折得到對應(yīng)的,過點作,交射線于點,與相交于點,連接.
①試判斷四邊形的形狀,并說明理由.
②若四邊形的面積為,,求的長.
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【題目】如圖,已知斜坡BQ的坡度i=1:2.4,坡長BQ=13米,在斜坡BQ上有一棵銀杏樹PQ,小李在A處測得樹頂P的仰角為α,測得水平距離AB=8米.若tanα=0.75,點A,B,P,Q在同一平面上,PQ⊥AB于點C,則銀杏樹PQ的高度為_____米.
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,根據(jù)圖象解答下列問題:
(1)寫出方程ax2+bx+c=0的兩個根;
(2)寫出不等式ax2+bx+c>0的解集;
(3)寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍.
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【題目】如圖,已知以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O,∠B的平分線BE交AC于D,交⊙O于E,過E作⊙O切線EF交BA的延長線于F.
(1)如圖1,求證:EF∥AC;
(2)如圖2,OP⊥AO交BE于點P,交FE的延長線于點M.求證:△PME是等腰三角形;
(3)如圖3,在(2)的條件下:EG⊥AB于H點,交⊙O于G點,交AC于Q點,若sinF=,EQ=5,求PM的值.
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【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),點A的坐標為(﹣1,0),與y軸交于點C(0,3),作直線BC.動點P在x軸上運動,過點P作PM⊥x軸,交拋物線于點M,交直線BC于點N,設(shè)點P的橫坐標為m.
(1)求拋物線的解析式和直線BC的解析式;
(2)當點P在線段OB上運動時,若△CMN是以MN為腰的等腰直角三角形時,求m的值;
(3)當以C、O、M、N為頂點的四邊形是以OC為一邊的平行四邊形時,求m的值.
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【題目】已知拋物線y=x2+bx+3與x軸交于點A(1,0)
(1)求b的值;
(2)若拋物線與x軸的另一個交點為點B,與y軸的交點為C,求△ABC的面積.
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