Question

如圖，梯形AOBC中，AC∥OB，AO⊥OB，OA=2，OB=5，tanB是方程2x²+7x-4=0的一個(gè)根，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OA所在的直線(xiàn)分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系：
（1）求經(jīng)過(guò)O、C、B三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式；
（2）延長(zhǎng)AC交（1）中的拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，求線(xiàn)段CD的長(zhǎng)；
（3）若平行于x軸的一條直線(xiàn)交（1）中的拋物線(xiàn)于點(diǎn)M、N，以MN為直徑的圓正好與x軸相切，求此圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）由題意，易得到A、B的坐標(biāo)，通過(guò)解方程可求出tanB的值；過(guò)C作x軸的垂線(xiàn)，設(shè)垂足為E，在Rt△BCE中，根據(jù)CE（即OA）的長(zhǎng)及tanB的值即可求出BE的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)的解析式；
（2）由于AC∥OB（即x軸），那么C、D的縱坐標(biāo)相等，根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得到CD的長(zhǎng)；
（3）可根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸方程與M點(diǎn)橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值即為此圓的半徑，由于此圓與x軸相切，那么M點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值與此圓的半徑相等，由此可得出關(guān)于M點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，進(jìn)而可得到所求圓的半徑．

解答：解：（1）由已知得A（0，2），B（5，0）；
解方程2x²+7x-4=0
得：x=-4，x=

1

2

；
∵tanB＞0，
∴tanB=

1

2

；
過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OB于點(diǎn)E，則CE=AO=2；
∴tanB=

CE

BE

，
∴BE=4；
∴OE=OB-BE=1，
∴C（1，2）；
∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)O（0，0）和點(diǎn)B（5，0），
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax（x-5），
又∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1，2），
∴a=-

1

2

；
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-

1

2

x（x-5），
即y=-

1

2

x²+

5

2

x；

（2）由題意設(shè)D（t，2），其中t≠0；
∵點(diǎn)D在拋物線(xiàn)上，
∴t=4，
∴點(diǎn)D（4，2），CD=3；

（3）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸：直線(xiàn)x=

5

2

；
設(shè)點(diǎn)M（m，-

1

2

m²+

5

2

m），
∴MP=

5

2

-m；
∴

5

2

-m=|-

1

2

m²+

5

2

m|，
∴m=

7± 29

2

或m=

3± 29

2

；
故此圓的半徑為

2+ 29

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：一元二次方程的解法、解直角三角形、二次函數(shù)解析式的確定以及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系等．