Question

【題目】定義：一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做“鄰等對補四邊形”

如圖1，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠B+∠D＝180°（或∠A+∠C＝180°），則四邊形ABCD叫做“鄰等對補四邊形”．

概念理解

（1）在以下四種圖形中：①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形；一定是“鄰等對補四邊形”的是　 　；（填寫序號）

（2）如圖2，點A、B、C是網(wǎng)格中格點，請找出兩個格點P1，P2，連接P1A、P1C，P2A、P2C畫出四邊形P1ABC，P2ABC，使四邊形P1ABC，P2ABC均為“鄰等對補四邊形”．

性質(zhì)證明

（3）如圖1，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，連接BD，求證：BD平分∠ADC．

知識運用

（4）如圖3，在“鄰等對補四邊形”ABCD中，滿足AB＝AD，AB+BC＝6，∠ADC＝60°時，若2≤BC＜3，求四邊形ABCD的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）④；（2）詳見解析；（3）詳見解析；（4）四邊形ABCD的面積的最大值最大值為8．

【解析】

（1）根據(jù)“鄰等對補四邊形”的定義即可判斷；（2）如圖作△ABC的外接圓，圖中點P1，P2即為所求（答案不唯一，在直線AC的右側(cè)圓上的格點，即可滿足條件）；（3）如圖1中，連接AC，BD．證明A，B，C，D四點共圓，利用圓周角定理即可解決問題；（4）如圖3中，延長CB到H，使得BH＝BA，連接AH，AC，作CE⊥AD于E，CF⊥AH于F，作AK⊥BH于K．設(shè)BC＝x．構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．

（1）根據(jù)“鄰等對補四邊形”的定義，正方形一定是“鄰等對補四邊形”．

故答案為：④．

（2）如圖2中，作△ABC的外接圓，圖中點P1，P2即為所求（答案不唯一）

（3）如圖1中，連接AC，BD．

∵∠BAD+∠BCD＝180°，

∴A，B，C，D四點共圓，

∴BA＝BC，

∴，

∴∠ADB＝∠BDC，

∴BD平分∠ADC．

（4）如圖3中，延長CB到H，使得BH＝BA，連接AH，AC，作CE⊥AD于E，CF⊥AH于F，作AK⊥BH于K．設(shè)BC＝x．

∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ADC＝60°，

∴∠ABC＝120°，

∴∠ABH＝60°，

∵BA＝BH，

∴△ABH是等邊三角形，

∴∠H＝60°，

∴∠H＝∠D，

由（2）可知．AC平分∠BCD，

∴∠ACH＝∠ACD，

∵AC＝AC，

∴△ACH≌△ACD，

∴∠CAD＝∠CAH，

∵CE⊥AD，CF⊥AH，

∴CE＝CF，

∵BH+BC＝AB+BC＝6，

∴CF＝CE＝CHsin60°＝3，AK＝HKtan60°＝（6﹣x），

∴S四邊形ABCD＝S△ADC+S△ACB＝（6﹣x）3+x（6﹣x）＝﹣x2+9，

∵2≤x＜3，

∴x＝2時，S有最大值，最大值S＝8，