Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜邊AB上的中線，AB=10，，點P是CE延長線上的一動點，過點P作PQ⊥CB，交CB延長線于點Q，設(shè)EP=x，BQ=y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及定義域；
（2）連接PB，當(dāng)PB平分∠CPQ時，求PE的長；
（3）過點B作BF⊥AB交PQ于F，當(dāng)△BEF和△QBF相似時，求x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用tanA=，以及AB=10，即可求出BC，AC，再利用△PCQ∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)求出y與x的關(guān)系式即可；
（2）利用PB平分∠CPQ，BQ⊥PQ，垂足為Q．得出BM=BQ=y，進而求出x即可；
（3）分兩種情況：①當(dāng)∠FEB=∠A時，②當(dāng)∠FEB=∠ABC時，分別求出即可．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵，AB=10，
∴BC=8，AC=6，
∵CE是斜邊AB上的中線，
∴，
∴∠PCB=∠ABC，
∵∠PQC=∠ACB=90°，
∴△PCQ∽△ABC，
∴，
即，
∴，定義域為x＞5．

（2）過點B作BM⊥PC，垂足為M．
∵PB平分∠CPQ，BQ⊥PQ，垂足為Q．
∴BM=BQ=y，
∵=，
設(shè)AC=3x，則BC=4x，AB=5x，
∴sin∠MCB===，
∴，
∴，
∴x=11，

（3）∵∠Q=∠ACB=90°，∠QBF=∠A，
∴△BQF∽△ABC，
當(dāng)△BEF和△QBF相似時，
可得△BEF和△ABC也相似．
分兩種情況：
①當(dāng)∠FEB=∠A時，
在Rt△FBE中，∠FBE=90°，BE=5，
∴，
解得x=10；  
②當(dāng)∠FEB=∠ABC時，
在Rt△FBE中，∠FBE=90°，BE=5，
∴，
解得；
綜合①②，或10．
點評：此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的考查是中考中重點題型，同學(xué)們應(yīng)重點掌握．