Question

梯形ABCD中，AD∥BC，延長BD至E，連接AE、CE，有BE=BC，AE=CD，∠DCB=∠AED，作BF⊥CE于F，求證：
（1）∠EBF=∠CBF；
（2）△EBC是等邊三角形．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的判定與性質,梯形

專題：證明題

分析：（1）根據等腰三角形的性質推出即可；
（2）證ABE≌△DBC，推出∠ABE=∠DBC，BD=AB，求出AB=BD，推出AB=BD=AD，得出△ABD是等邊三角形，求出∠EBC=∠ABE=60°，根據等邊三角形的判定得出即可．

解答：證明：（1）∵BE=BC，BF⊥CE，
∴∠EBF=∠CBF（三線合一）；

（2）在△ABE與△DBC中，

AE=DC ∠AEB=∠BCD BE=BC

，
∴△ABE≌△DBC（SAS，
∴∠ABE=∠DBC，BD=AB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠ADB=∠ABD，
∴AB=BD，
∴AB=BD=AD，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠EBC=∠ABE=60°，
∵BE=BC，
∴△EBC是等邊三角形．

點評：本題考查了等邊三角形的判定，平行線的性質，全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力．