Question

20．先閱讀并填空，再解答問題：
我們知道$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，那么$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{2014×2015}$=$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$，用含有n的式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并依此計算：$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2014×2016}$．

Answer 1

分析 分子為1，分母為相鄰2個自然數(shù)的分數(shù)應等于分子為1，分母分別為這兩個自然數(shù)的分數(shù)的差，依此規(guī)律得到所要計算的式子的每個分數(shù)等于分子為1，分母分別為原分數(shù)中2個因數(shù)的分數(shù)的差的一半，進而化解計算即可．

解答 解：$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$，
$\frac{1}{2014×2015}$=$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$，
$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故答案為：$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$，$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2014×2016}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2016}$）=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2016}$）=$\frac{1007}{4032}$．

點評 此題考查數(shù)的變化規(guī)律的應用；得到分子為1，分母為2個等差的數(shù)的積的分數(shù)的化簡規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．