Question

12．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)的切線CE垂直于弦AD于點(diǎn)E，連OD交AC于點(diǎn)F．
（1）求證：∠BAC=∠DAC；
（2）若AF：FC=6：5，求sin∠BAC的值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，如圖1，先利用切線的性質(zhì)得到OC⊥CD，再判斷OC∥AD得到∠CAD=∠ACO，而∠BAC=∠ACO，即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)OC∥AD，得出△AFD∽△CFO即可求出$\frac{AD}{OC}=\frac{6}{5}$然后設(shè)出AD=6x，OC=5x，再用勾股定理表示出CH，AH，進(jìn)而得出AC即可求出結(jié)論；

解答 （1）證明：連結(jié)OC，如圖1，

∵CD為切線，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD
∴OC∥AD，
∴∠CAD=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠ACO，
∴∠BAC=∠DAC，

（2）如圖2，

作OG⊥AD于G，CH⊥AB于H，連接OC，
由（1）知，OC∥AD，
∴△AFD∽△CFO，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{AD}{OC}$
∵AF：FC=6：5，
∴$\frac{AD}{OC}=\frac{6}{5}$
設(shè)AD=6x，OC=OD=OA=5x，則OG=CH=4x，
在Rt△OCH中，OC=5x，CH=4x，
∴OH=3x，
∴AH=OA+OH=8x；
在Rt△ACH中，AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=4$\sqrt{5}$x
Sin∠BAC=$\frac{CH}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是切線的性質(zhì)，主要考查了角平分線的判定，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是求出$\frac{AD}{OC}=\frac{6}{5}$．