Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為菱形，點C的坐標為（4，0），∠AOC=60°，垂直于x軸的直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點M、N（點M在點N的上方）．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）設△OMN的面積為S，直線l運動時間為t秒（0≤t≤6），試求S與t的函數(shù)表達式；
（3）在題（2）的條件下，是否存在某一時刻，使得△OMN的面積與OABC的面積之比為3：4？如果存在，請求出t的取值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根菱形性質(zhì)得出OA=AB=BC=CO=4，過A作AD⊥OC于D，求出AD、OD，即可得出答案；
（2）有三種情況：①當0≤t≤2時，直線l與OA、OC兩邊相交，②當2＜t≤4時，直線l與AB、OC兩邊相交，③當4＜t≤6時，直線l與AB、BC兩邊相交，畫出圖形求出即可；
（3）分為以上三種情況，求出得到的方程的解，看看是否在所對應的范圍內(nèi)，即可進行判斷．

解答：解：（1）∵四邊形OABC為菱形，點C的坐標是（4，0），
∴OA=AB=BC=CO=4，
過A作AD⊥OC于D，
∵∠AOC=60°，
∴OD=2，AD=2

3

，
∴A（2，2

3

），B（6，2

3

）；

（2）直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向運動與菱形OABC的兩邊相交有三種情況：①如圖1，

當0≤t≤2時，直線l與OA、OC兩邊相交，
∵MN⊥OC，
∴ON=t，
∴MN=ON•tan60°=

3

t，
∴S=

1

2

ON•MN=

3

2

t²；
②當2＜t≤4時，直線l與AB、OC兩邊相交，如圖2，

S=

1

2

ON•MN=

1

2

×t×2

3

=

3

t；
③當4＜t≤6時，直線l與AB、BC兩邊相交，如圖3，

設直線l與x軸交于H，
MN=2

3

-

3

（t-4）=6

3

-

3

t，
∴S=

1

2

MN•OH=

1

2

•（6

3

-

3

t）t=-

3

2

t²+3

3

t；

（3）答：不存在，
理由是：假設存在某一時刻，使得△OMN的面積與OABC的面積之比為3：4，
菱形AOCB的面積是4×2

3

=8

3

①

3

2

t²：8

3

=3：4，
解得：t=±2

3

，
∵0≤t≤2，
∴此時不符合題意舍去；
②

3

t：8

3

=3：4，
解得：t=6（舍去）；
③（-

3

2

t²+3

3

t）：8

3

=3：4，
此方程無解．
綜合上述，不存在某一時刻，使得△OMN的面積與OABC的面積之比為3：4．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形的面積，二次函數(shù)、一次函數(shù)的應用等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行計算的能力．注意一定要進行分類討論．