Question

19．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在直線AB、AC上運(yùn)動(dòng)，且始終保持AE=CF．
（1）如圖①，若點(diǎn)E、F分別在線段AB，AC上，求證：DE=DF且DE⊥DF；
（2）如圖②，若點(diǎn)E、F分別在線段AB，CA的延長(zhǎng)線上，（1）中的結(jié)論是否依然成立？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD=BD=DC，進(jìn)而證明△AED≌△CFD，利用全等三角形的性質(zhì)得出DE=DF，∠ADE=∠CDF進(jìn)而得出△DEF為等腰直角三角形；
（2）若點(diǎn)E、F分別在線段AB，CA的延長(zhǎng)線上，（1）中的結(jié)論依然成立，首先利用已知得出AD=BD=DC，進(jìn)而利用全等三角形的判定得出△AED≌△CFD．

解答 解：（1）如圖①，連接AD，

∵∠BAC=90°，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=BD=DC，
在△AED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠EAD=∠DAC}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
又∵∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，
∴∠EDF=90°，
∴DE⊥DF．
（2）若點(diǎn)E、F分別在線段AB，CA的延長(zhǎng)線上，（1）中的結(jié)論依然成立，如圖②，

理由：∵∠BAC=90° AB=AC，D為BC中點(diǎn)
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=BD=DC，
在△AED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠EAD=∠C}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（SAS）；   
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
又∵∠CDF-∠ADF=90°，
∴∠ADE-∠ADF=90°，
∴∠EDF=90°，
∴DE⊥DF．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出AD=BD=DC是解題關(guān)鍵．