Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝x2－x－3與x軸的交點(diǎn)為A、D(A在D的右側(cè))，與y軸的交點(diǎn)為C.

(1)直接寫(xiě)出A、D、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)M在拋物線上，使得△MAD的面積與△CAD的面積相等，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)設(shè)點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A點(diǎn)坐標(biāo)為(4，0)，D點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，0)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－3)；

（2）M點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－3)或(1＋，3)或(1－，3)；

（3）在拋物線上存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形為梯形；點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，0)或(6，6)．

【解析】試題分析：（1）在中令，解得，

∴A(4，0) 、D(－2，0).

在中令，得，∴C(0，－3).

（2）連接AC，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，AC與拋物線的對(duì)稱軸交點(diǎn)M即為所求，從而應(yīng)用待定系數(shù)法求出AC的解析式，再求出拋物線的對(duì)稱軸，即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo).

（3）分BC為梯形的底邊和BC為梯形的腰兩種情況討論即可.

試題解析：（1）A(4，0) 、D(－2，0)、C(0，－3)

（2）如圖，連接AC，則AC與拋物線的對(duì)稱軸交點(diǎn)M即為所求.

設(shè)直線AC的解析式為，則，解得.

∴直線AC的解析式為.

∵的對(duì)稱軸是直線，

把x=1代入得

`∴M(1， ).

（3）存在，分兩種情況：

①如圖，當(dāng)BC為梯形的底邊時(shí)，點(diǎn)P與D重合時(shí)，四邊形ADCB是梯形，此時(shí)點(diǎn)P為(－2，0).

②如圖，當(dāng)BC為梯形的腰時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CP//AB，與拋物線交于點(diǎn)P，

∵點(diǎn)C，B關(guān)于拋物線對(duì)稱，∴B(2，－3)

設(shè)直線AB的解析式為，則，解得.

∴直線AB的解析式為.

∵CP//AB，∴可設(shè)直線CP的解析式為.

∵點(diǎn)C在直線CP上，∴.

∴直線CP的解析式為.

聯(lián)立，解得，

∴P(6，6).

綜上所述，在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，0)或(6，6).