Question

如圖1，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若矩形EFMN的頂點(diǎn)F、M在位于x軸上方的拋物線上，一邊EN在x軸上（如圖2）．設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，0），矩形EFMN的周長為L，求L的最大值及此時點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的前提下（即當(dāng)L取得最大值時），在拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PMN沿直線PN折疊后，點(diǎn)M剛好落在y軸上？若存在，請求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：由題意可設(shè)拋物線為y=a（x+1）（x-3），
拋物線過點(diǎn)（0，3），
∴3=a（0+1）（0-3），
解得：a=-1，
拋物線的解析式為：y=-（x+1）（x-3），
即：y=-x²+2x+3；

（2）解：由（1）得拋物線的對稱軸為直線x=1，
∵E（x，0），
∴F（x，-x²+2x+3），EN=2（1-x），
∴L=2EN+2EF=4（1-x）+2（-x²+2x+3），
化簡得 l=-2x²+10，
∵-2＜0，
∴當(dāng)x=0時，L取得最大值是10，
此時點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，0）；

（3）解：由（2）得：E（0，0），F(xiàn)（0，3），M（2，3），N（2，0），
設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P（1，y），
并設(shè)折疊后點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)為M₁，
∴∠NPM=∠NPM₁=90°，PM=PM₁，
PG=3-y，GM=1，PH=|y|，HN=1，
∵∠NPM=90°，
∴PM²+PN²=MN²，
∴（3-y）²+1²+y²+1²=3²，
解得：，，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）或（1，），
當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）時，
連接PC，
∵PG是CM的垂直平分線，
∴PC=PM，
∵PM=PM₁，∴PC=PM=PM₁，
∴∠M₁CM=90°，
∴點(diǎn)M₁在y軸上，
同理可得當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）時，點(diǎn)M₁也在y軸上，
故存在滿足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）或（1，）．
分析：（1）利用交點(diǎn)式假設(shè)出二次函數(shù)解析式，求出即可；
（2）利用L=2EN+2EF=4（1-x）+2（-x²+2x+3），有二次函數(shù)的最值求法得出答案；
（3）首先設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P（1，y），進(jìn)而利用勾股定理得出PM²+PN²=MN²，即可得出y的值，進(jìn)而得出P點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及勾股定理以及二次函數(shù)的最值，利用數(shù)形結(jié)合得出P點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)以及∠NPM=∠NPM₁=90°是解題關(guān)鍵．