Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中點，CE⊥AD，垂足為E．
（1）求證：CD²=DE•AD；
（2）求證：∠BED=∠ABC．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）證明∠CED=∠ACB=90°，∠CDE=∠ADC，得到△CDE∽△ADC，列出比例式，化為等積式即可解決問題．
（2）運用（1）中的結(jié)論，證明△BDE∽△ADB，即可解決問題．

解答：證明（1）∵CE⊥AD，
∴∠CED=∠ACB=90°，
∵∠CDE=∠ADC，
∴△CDE∽△ADC，
∴CD：AD=DE：CD，
∴CD²=DE•AD．
（2）∵D是BC的中點，
∴BD=CD；
∵CD²=DE•AD，
∴BD²=DE•AD
∴BD：AD=DE：BD；
又∵∠ADB=∠BDE，
∴△BDE∽△ADB，
∴∠BED=∠ABC．

點評：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是深入把握題意、大膽猜測推理、科學(xué)求解論證．