Question

如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．
（1）求證：BE+CF＞EF；
（2）若∠A=90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關系，并加以證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,勾股定理

專題：

分析：（1）通過作輔助線證明三角形全等，得出對應邊相等，在△CFG中，根據(jù)三邊關系得出結論；
（2）根據(jù)（1）的結論，證出平行線，得出∠ACG=90°，再根據(jù)勾股定理即可得出結論．

解答：（1）延長ED至G，使DG=DE，連接CG、FG，如圖所示：
在△CDG和△BDE中，

DG=DE   ∠CDG=∠BDE   CD=BD

∴△CDG≌△BDE（SAS），
∴CG=BE，
∵DE⊥DF，DG=DE，
∴EF=FG，
在△CFG中，CG+CF＞FG，
∴BE+CF＞EF；
（2）當∠A=90°時，BE²+CF²=EF²；
由（1）得，△CDG≌△BDE，
∴∠DCG=∠DBE，
∴AB∥CG，∵∠A=90°，
∴∠ACG=90°，
在Rt△CFG中，由•勾股定理得，CG²+CF²=FG²，
由（1）知，BE=CG，EF=FG，
∴BE²+CF²=EF²．

點評：考查了全等三角形的判定與性質，通過作輔助線證明三角形全等，得出相等的邊和角，證出結論；構造三角形全等是解決問題的關鍵．