Question

在△ABC中，∠A=90°，BC=10，tan∠ABC=3:4，M是AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過M點(diǎn)作MN∥BC交AC于點(diǎn)N，以AM、AN為鄰邊作矩形AMPN，其對(duì)角線交點(diǎn)為G。直線MP、NP分別與邊BC相交于點(diǎn)E、F，設(shè)AP=x。

圖1                        圖2
（1）求AB、AC的長(zhǎng)；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí)，求x的值；
（3）當(dāng)EF=5時(shí)，求x的值；
（4）在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，記△MNP與梯形BCNM重合部分的面積為y。試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求出y的最大值。

Answer 1

（1）AB="8,AC=6;" (2) x=5；(3)x=2.5或7.5 （4）當(dāng)0<x≤5時(shí),;；當(dāng)5<x<10時(shí),
;

試題分析：（1）在△ABC中，∠A=90°，BC=10，tan∠ABC=3:4，而根據(jù)三角函數(shù)tan∠ABC=，令A(yù)C=3K；AB=4K；）在△ABC中由勾股定理解得K=2；所以AB=8,AC=6;
(2) 在△ABC中，∠A=90°，當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí)以AM、AN為鄰邊作矩形AMPN，那么點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，所以AP是直角三角形斜邊上的中線，等于斜邊的一半，所以x=5；
(3) 當(dāng)EF=5時(shí)；根據(jù)題意BF=CE=2.5;∵M(jìn)N//BC，NF//AB，ME//AC ∴四邊形BFNM和四邊形CEMN都是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形），∴MN=BF；矩形AMPN，所以AP=MN=2.5;同理解得AP=7.5；所以x=2.5或7.5；
（4）當(dāng)0<x≤5時(shí),;
當(dāng)5<x<10時(shí),
;
故
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平行四邊形的判定方法和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，對(duì)它們的熟練掌握是解本題的關(guān)鍵