Question

9．已知：如圖，在四邊形ABCD中，P、Q、M、N分別是AD、BC、BD、AC的中點．
（1）求證：PQ、MN互相平分；
（2）當四邊形ABCD的邊滿足條件：AB=CD時，PQ⊥MN．（不必證明）

Answer 1

分析 （1）連接MP、NP、MQ、NQ，根據(jù)三角形中位線定理得到PM=$\frac{1}{2}$AB，PM∥AB，NQ=$\frac{1}{2}$AB，NQ∥AB，根據(jù)平行四邊形的判定定理證明四邊形PMQN是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)定理證明結(jié)論；
（2）根據(jù)菱形的判定定理和性質(zhì)定理解答即可．

解答 （1）證明：連接MP、NP、MQ、NQ，
∵P、M分別是AD、BD的中點，
∴PM=$\frac{1}{2}$AB，PM∥AB，
同理NQ=$\frac{1}{2}$AB，NQ∥AB，
∴PM∥NQ，PM=NQ，
∴四邊形PMQN是平行四邊形，
∴PQ、MN互相平分；
（2）AB=CD，
∵PM=$\frac{1}{2}$AB，PN=$\frac{1}{2}$CD，
當AB=CD時，PM=PN，
則平行四邊形PMQN是菱形，
∴PQ⊥MN．

點評 本題考查的是中點四邊形的證明，掌握三角形中位線定理、平行四邊形的判定定理、菱形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．