Question

如圖①，拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于O、A兩點直線y=-x+3與y軸交于B點，與該拋物線交于A，D兩點，已知點D橫坐標為-1．（1）求這條拋物線的解析式；
（2）如圖①，在線段OA上有一動點H（不與O、A重合），過H作x軸的垂線分別交AB于P點，交拋物線于Q點，若x軸把△POQ分成兩部分的面積之比為1：2，請求出H點的坐標；
（3）如圖②，在拋物線上是否存在點C，使△ABC為直角三角形？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出B、D、A的坐標，把D的坐標代入y=a（x-0）（x-3）求出a即可；
（2）設(shè)H（x，0），得出P（x，-x+3），Q（x，x²-3x），求出PH和QH，根據(jù)三角形的面積得出

PH

QH

=

1

2

和

PH

QH

=2，代入求出即可；
（3）分為三種情況：①若∠BAC=90°，設(shè)C（x，x²-3x），tan∠OAC=1，代入求出即可；②若∠ABC=90°時，得出求出直線BC的解析式，和拋物線的解析式得出方程組，求出方程組的解即可；③若∠ACB=90°時，設(shè)C（n，k），根據(jù)勾股定理得出AC²+BC²=AB²，代入得到（n-3）²+k²+n²+（k-3）²=18，求出即可．

解答：（1）解：y=-x+3，
當(dāng)x=0時，y=3，
∴B（0，3），
把x=-1代入y=-x+3得：y=4，
∴D（-1，4），
當(dāng)y=0時，0=-x+3，
∴x=3，
∴A（3，0），
∵拋物線過A（3，0），O（0，0），
把D（-1，4）代入y=ax²+bx+c=a（x-0）（x-3）得：4=a（-1-0）（-1-3），
∴a=1，
∴y=（x-0）（x-3），
即拋物線的解析式是y=x²-3x．

（2）解：設(shè)H（x，0），
則P（x，-x+3），Q（x，x²-3x），
∴PH=-x+3，QH=3x-x²，
∵x軸把△POQ分成兩部分的面積之比為1：2，
∴

PH

QH

=

1

2

或

PH

QH

=2，
即

-x+3

3x-x2

=

1

2

或

-x+3

3x-x2

=2，
解得：x₁=2，x₂=3（舍去），x₃=3（舍去），x₄=

1

2

，
∴H點的坐標是（2，0）或（

1

2

，0）．

（3）解：分為三種情況：
①若∠BAC=90°，設(shè)C（x，x²-3x），
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
∴∠OAC=45°，
∴tan∠OAC=1，
∴

x2-3x

3-x

=1，
解得：x₁=1，x₂=3（舍去），
∴C（1，-2）；
②若∠ABC=90°時，
∵∠OBA=45°，
∴∠OBC=45°，
設(shè)直線BC交于x軸于E，其解析式是y=kx+3，
∴OE=OB=3，
∴E（-3，0），
代入得：0=-3k+3，
∴k=1，
∴y=k+3，
解方程組

y=x+3 y=x2-3x

得：

x1=2+ 7 y1=5+ 7

，

x2=2- 7 y2=5- 7

，
∴C（2+

7

，5-

7

）或（2-

7

，5-

7

）；
③若∠ACB=90°時，設(shè)C（n，k），
AC²+BC²=AB²，
即（n-3）²+k²+n²+（k-3）²=18，
n²-3n+k²-3k=0，
∵k=n²-3n，
代入求出k₁=0，k₂=2，
∴n²-3n=0，n²-3n=2，
解得：n₁=0，n₂=3（舍去），n₃=

3+ 17

2

，n₄=

3- 17

2

，
∴C（0，0）或（

3+ 17

2

，2）或（

3- 17

2

，2），
綜合上述：存在，點C的坐標是（1，-2）或（2+

7

，5+

7

）或（2-

7

，5-

7

）或（0，0）或（

3+ 17

2

，2）或（

3- 17

2

，2）．

點評：本題考查了三角形的面積，勾股定理，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用這些性質(zhì)進行計算的能力，本題難度偏大，對學(xué)生有較高的要求，分類討論思想的運用．