(2005 海南)如圖所示,拋物線x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn).

(1)求該拋物線的解析式;

(2)設(shè)(1)中的拋物線上有一個(gè)動點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P在該拋物線上滑動到什么位置時(shí),滿足,并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)設(shè)(1)中的拋物線交y軸于C點(diǎn).在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得△QAC的周長最小?若存在,求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

答案:略
解析:

解 (1)拋物線x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(10)、B(3,0)

,解之得

∴所求拋物線的解析式為

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xy),由題意,得

|y|=4,∴y=±4

當(dāng)y=4時(shí),

當(dāng)y=4時(shí),,

x=1

∴滿足條件的點(diǎn)P3個(gè),即

(3)在拋物線對稱軸上存在點(diǎn)Q,使得△QAC的周長最小.

AC長為定值.

∴要使△QAC的周長最小,只需QADC最小,

∵點(diǎn)A關(guān)于對稱軸x=1的對稱點(diǎn)是B(30),

∴由幾何知識可知,Q是直線BC與對稱軸x=1的交點(diǎn).

C點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-3)故設(shè)過點(diǎn)BC的直線的解析式為y=kx3,

∵直線過點(diǎn)B(3,0),

3k3=0

k=1,

∴直線BC的解析式為y=x3

x=1代入上式,得y=2,∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為(1,-2)


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