Question

(2005　海南)如圖所示，拋物線與x軸交于A(－1，0)、B(3，0)兩點(diǎn)．

(1)求該拋物線的解析式；

(2)設(shè)(1)中的拋物線上有一個(gè)動點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在該拋物線上滑動到什么位置時(shí)，滿足，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)設(shè)(1)中的拋物線交y軸于C點(diǎn)．在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解　(1)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(－1，0)、B(3，0)， ∴，解之得． ∴所求拋物線的解析式為． (2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題意，得 ∴|y|=4，∴y=±4． 當(dāng)y=4時(shí)， ∴． 當(dāng)y=－4時(shí)，， ∴x=1． ∴滿足條件的點(diǎn)P有3個(gè)，即． (3)在拋物線對稱軸上存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最小． ∵AC長為定值． ∴要使△QAC的周長最小，只需QA＋DC最小， ∵點(diǎn)A關(guān)于對稱軸x=1的對稱點(diǎn)是B(3，0)， ∴由幾何知識可知，Q是直線BC與對稱軸x=1的交點(diǎn)． C點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-3）故設(shè)過點(diǎn)B、C的直線的解析式為y=kx－3， ∵直線過點(diǎn)B(3，0)， ∴3k－3=0． ∴k=1， ∴直線BC的解析式為y=x－3． 把x=1代入上式，得y=－2，∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為(1，－2)．