Question

對(duì)四邊形的觀察與探索

　　四邊形是大家最熟悉的圖形之一，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了它的許多性質(zhì)．只要善于觀察、樂(lè)于探索，我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)更多的結(jié)論．

　　問(wèn)題的提出：四邊形一條對(duì)角線上任意一點(diǎn)與另外兩個(gè)頂點(diǎn)的連線，將四邊形分成四個(gè)三角形，其中相對(duì)的兩對(duì)三角形的面積之積有何關(guān)系？你能探索出結(jié)論嗎？

(1)為了更直觀的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，我們不妨先在特殊的四邊形－－平行四邊形中，研究這個(gè)問(wèn)題：

已知：在ABCD中，O是對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)(如圖)，求證：S_△OBC·S_△OAD＝S_△OAB·S_△OCD

(2)有了(1)中的探索過(guò)程作參照，你一定能類比出在一般四邊形(如圖)中，解決問(wèn)題的辦法了吧！填寫(xiě)結(jié)論并寫(xiě)出證明過(guò)程．

已知：在四邊形ABCD中，O是對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)(如圖)

求證：________________

(3)在三角形中(如圖)，你能否歸納出類似的結(jié)論？若能，用文字?jǐn)⑹瞿銡w納出的結(jié)論，并寫(xiě)出已知、求證和證明過(guò)程；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：如圖，分別過(guò)點(diǎn)A、C作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，則有 　　S△OBC＝·OB·CF，S△OAD＝·OD·AE， 　　S△OAB＝·OB·AE，S△OCD＝·OD·CF， 　　∴S△OBC·S△OAD＝·OB·OD·CF·AE， 　　S△OAB·S△OCD＝·OB·OD·CF·AE， 　　∴S△OBC·S△OAD＝S△OAB·S△OCD． 　　(2)結(jié)論：S△OBC·S△OAD＝S△OAB·S△OCD． 　　證明：如圖，分別過(guò)點(diǎn)A、C作AE⊥DB交DB的延長(zhǎng)線于E，CF⊥BD于F，則有： 　　S△OBC＝·OB·CF，S△OAD＝·OD·AE， 　　S△OAB＝·OB·AE，S△OCD＝·OD·CF， 　　∴S△OBC·S△OAD＝·OB·OD·CF·AE， 　　S△OAB·S△OCD＝·OB·OD·CF·AE， 　　∴S△OBC·S△OAD＝S△OAB·S△OCD． 　　(3)答：能． 　　從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)邊上任意一點(diǎn)的連線上任取一點(diǎn)，與三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)的連線，將三角形分成四個(gè)小三角形，其中相對(duì)兩對(duì)三角形的面積之積相等． 　　即：S△OBC·S△OAD＝S△OAB·S△OCD． 　　已知：在△ABC中，D為AC上任一點(diǎn)，O為BD上任一點(diǎn)． 　　求證：S△OBC·S△OAD＝S△OAB·S△OCD． 　　證明：如圖，分別過(guò)點(diǎn)A、C，作AE⊥DB，交BD的延長(zhǎng)線于E，CF⊥BD于F，則有： 　　S△OBC＝·OB·CF，S△OAD＝·OD·AE， 　　S△OAB＝·OB·AE，S△OCD＝·OD·CF， 　　∴S△OBC·S△OAD＝·OB·OD·CF·AE， 　　S△OAB·S△OCB＝·OB·OD·CF·AE， 　　S△OBC·S△OAD＝S△OAB·S△OCD．