Question

（2001•南京）如圖1，在平面上，給定了半徑為r的圓O，對(duì)于任意點(diǎn)P，在射線OP上取一點(diǎn)P′，使得OP•OP′=r²，這把點(diǎn)P變?yōu)辄c(diǎn)P的變換叫做反演變換，點(diǎn)P與點(diǎn)P′叫做互為反演點(diǎn)．
（1）如圖2，⊙O內(nèi)外各一點(diǎn)A和B，它們的反演點(diǎn)分別為A和B′．求證：∠A′=∠B；
（2）如果一個(gè)圖形上各點(diǎn)經(jīng)過反演變換得到的反演點(diǎn)組成另一個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形叫做互為反演圖形．

①選擇：如果不經(jīng)過點(diǎn)O的直線l與⊙O相交，那么它關(guān)于⊙O的反演圖形是（ ）
A、一個(gè)圓；B、一條直線；C、一條線段；D、兩條射線
②填空：如果直線l與⊙O相切，那么它關(guān)于⊙O的反演圖形是______，該圖形與圓O的位置關(guān)系是______．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題中給出的條件可得出OB•OB′=OA•OA′=r²，將等積式轉(zhuǎn)換為比例式后即可得出△OAB和△OBA相似，由此可證得所求的條件．
（2）①應(yīng)該是一個(gè)過O點(diǎn)過兩個(gè)交點(diǎn)的圓，反演圖形中圓和直線都看成圓的話，結(jié)論會(huì)很簡(jiǎn)單，一個(gè)圓關(guān)于⊙O反演圖形仍然是圓，這時(shí)直線可以看成圓心無限遠(yuǎn)半徑無限大的圓，
根據(jù)OP•OP′=r²知：
⊙O外的點(diǎn)的反演點(diǎn)在⊙O內(nèi)；
⊙O內(nèi)的點(diǎn)的反演點(diǎn)在⊙O外；
⊙O上的點(diǎn)的反演點(diǎn)在⊙O上；
直線與⊙O相交的點(diǎn)的反演點(diǎn)還是該點(diǎn)，
直線上的無窮遠(yuǎn)處的點(diǎn)反演到圓心，
于是三點(diǎn)確定一個(gè)圓．
②如果直線l與⊙O相切，那么它關(guān)于⊙O的反演圖形是過切點(diǎn)和O點(diǎn)的圓，該圖形與圓O的位置關(guān)系是內(nèi)切，既然直線只與⊙O有一個(gè)交點(diǎn)，那么反演圖形與⊙O只有一個(gè)交點(diǎn)，即相切．
直線l上有無限遠(yuǎn)點(diǎn)，于是反演圖形過⊙O，于是反演圖形為⊙O的內(nèi)切圓．
解答：解：（1）由題意知：OA•OA′=OB•OB′=r²，，
∵∠AOB=∠B′OA′，
∴△AOB∽△B′OA′，
∴∠A′=∠B，

（2）①選擇A；
②圓；內(nèi)切．
點(diǎn)評(píng)：本題定義三個(gè)概念即反演變換、反演點(diǎn)、反演圖形．第一問的求解，是在理解題意的基礎(chǔ)上直接引用，把等積式轉(zhuǎn)換為比例式．第二問的求救，則需從特殊到一般的分析、歸納、猜想，其中還滲透著無限逼近的思想．