Question

將正六邊形紙片按下列要求分割（每次分割，紙片均不得有剩余）
第一次分割：將正六邊形分割成三個全等的菱形，然后選取其中一個菱形再分割成一個正六邊形和兩個全等的正三角形；
第二次分割：將第一次分割后所得的正六邊形紙片分割成三個全等的菱形，然后選取其中一個菱形再分割成一個正六邊形和兩個全等的正三角形；
按上述分割方法進(jìn)行下去…
若原正六邊形的面積為a，分割n次后所得的正六邊形的面積為S，用含a和n的代數(shù)式表示S，則S=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)正六邊形的每一個角是60°和各邊都相等，可以作兩個內(nèi)角的角平分線，構(gòu)造三個菱形；再進(jìn)一步找到其中一個菱形的各邊中點，進(jìn)行分割成正六邊形和兩個全等的三角形；根據(jù)正六邊形的面積比是邊長的比的平方，發(fā)現(xiàn)每一次分割得到的正六邊形的邊長都是上一次正六邊形的邊長的

1

2

，則面積是上一次的正六邊形的面積的

1

4

．根據(jù)這一規(guī)律完成表格；根據(jù)上述規(guī)律即可得到分割n次時，則S=

a

4n

．

解答：解：根據(jù)正六邊形的每一個角是60°和各邊都相等，可以作兩個內(nèi)角的角平分線，構(gòu)造三個菱形；
再進(jìn)一步找到其中一個菱形的各邊中點，進(jìn)行分割成正六邊形和兩個全等的三角形；
根據(jù)正六邊形的面積比是邊長的比的平方，
發(fā)現(xiàn)每一次分割得到的正六邊形的邊長都是上一次正六邊形的邊長的

1

2

，
則面積是上一次的正六邊形的面積的

1

4

．
根據(jù)上述規(guī)律即可得到分割n次時，則S=

a

4n

．
故答案為

a

4n

．

點評：本題考查了正多邊形和圓的知識，解題的關(guān)鍵是此題要熟練運用正多邊形的性質(zhì)進(jìn)行分析．