Question

將正六邊形紙片按下列要求分割（每次分割，紙片均不得有剩余）.

第一次分割：將正六邊形紙片分割成三個(gè)全等的菱形，然后選取其中的一個(gè)菱形再分割成一個(gè)正六邊形和兩個(gè)全等的正三角形；

第二次分割：將第一次分割后所得的正六邊形紙片分割成三個(gè)全等的菱形，然后選取其中的一個(gè)菱形再分割成一個(gè)正六邊形和兩個(gè)全等的正三角形；

按上述分割方法進(jìn)行下去……

（1）請(qǐng)你在圖中畫出第一次分割的示意圖；

（2）若原正六邊形的面積為a，請(qǐng)你通過操作和觀察，將第1次，第2次，第3次分割后所得的正六邊形的面積填入下表：

 

分割次數(shù)（n）	1	2	3	……
正六邊形的面積Sn

（3）觀察所填表格，并結(jié)合操作，請(qǐng)你猜想：第n次分割后所得的正六邊形面積S_n與分割次數(shù)n有何關(guān)系？（S_n用含a和n的代數(shù)式表示，不需要寫出推理過程）.

 

Answer 1

【答案】

（1）解：（1）                 

（2）

分割次數(shù)（n）	1	2	3	……
正六邊形得面積Sn				……

 

    

                                          

 

 

（3） 

【解析】根據(jù)正六邊形的每一個(gè)角是60°和各邊都相等，可以作兩個(gè)內(nèi)角的角平分線，構(gòu)造三個(gè)菱形；再進(jìn)一步找到其中一個(gè)菱形的各邊中點(diǎn)，進(jìn)行分割成正六邊形和兩個(gè)全等的三角形；根據(jù)正六邊形的面積比是邊長(zhǎng)的比的平方，發(fā)現(xiàn)每一次分割得到的正六邊形的邊長(zhǎng)都是上一次正六邊形的邊長(zhǎng)的 ，則面積是上一次的正六邊形的面積的．根據(jù)這一規(guī)律完成表格；根據(jù)上述規(guī)律即可得到分割n次時(shí)，則