【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y=﹣+cx軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),交y軸的正半軸于點C,其頂點為M,MHx軸于點HMAy軸于點N,sinMOH=

1)求此拋物線的函數(shù)表達式;

2)過H的直線與y軸相交于點P,過O,M兩點作直線PH的垂線,垂足分別為EF,若=時,求點P的坐標;

3)將(1)中的拋物線沿y軸折疊,使點A落在點D處,連接MDQ為(1)中的拋物線上的一動點,直線NQx軸于點G,當Q點在拋物線上運動時,是否存在點Q,使ANGADM相似?若存在,求出所有符合條件的直線QG的解析式;若不存在,請說明理由.

【答案】1y=﹣+4;2P0,2P0﹣2).3)存在,符合條件的所有直線QG的解析式為:y=4x+y=﹣x+

【解析】

試題分析:1)由拋物線y=﹣+cx軸交于AB兩點(點A在點B的左側(cè)),交y軸的正半軸于點C,其頂點為M,MHx軸于點H,MAy軸于點N,sinMOH=,求出c的值,進而求出拋物線方程;

2)如圖1,由OEPHMFPH,MHOH,可證OEH∽△HFM,可知HE,HF的比例關(guān)系,求出P點坐標;

3)首先求出D點坐標,寫出直線MD的表達式,由兩直線平行,兩三角形相似,可得NGMD,直線QG解析式.

解:(1M為拋物線y=﹣+c的頂點,

M2,c).

OH=2MH=|c|

a0,且拋物線與x軸有交點,

c0,

MH=c,

sinMOH=

=

OM=c,

OM2=OH2+MH2,

MH=c=4,

M2,4),

拋物線的函數(shù)表達式為:y=﹣+4

2)如圖1,OEPH,MFPH,MHOH,

∴∠EHO=FMHOEH=HFM

∴△OEH∽△HFM,

==

=,

MF=HF,

∴∠OHP=FHM=45°,

OP=OH=2,

P02).

如圖2,同理可得,P0,﹣2).

3A﹣10),

D10),

M2,4),D10),

直線MD解析式:y=4x﹣4,

ONMH,∴△AON∽△AHM

===,

AN=,ON=,N0,).

如圖3,若ANG∽△AMD,可得NGMD,

直線QG解析式:y=4x+,

如圖4,若ANG∽△ADM,可得=

AG=,

G0),

QGy=﹣x+

綜上所述,符合條件的所有直線QG的解析式為:y=4x+y=﹣x+

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②在圖5中,AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系,直接寫出結(jié)論______________________

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