Question

（1）如圖所示，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O．試說明∠BOC=90°+∠A；
（2）如圖所示，在△ABC中，BD、CD分別是∠ABC、∠ACB的外角平分線．試說明∠D=90°-∠A；
（3）如圖所示，已知BD為△ABC的角平分線，CD為△ABC外角∠ACE的平分線，且與BD交于點D，試說明∠A=2∠D．

Answer 1

證明：（1）∵在△ABC中，OB、OC分別是∠ABC、∠ACB的平分線，∠A為x°
∴∠OBC+∠OCB=（180°-∠A）=×（180°-x°）=90°-∠A
故∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A；

（2）∵BD、CD為△ABC兩外角∠ABC、∠ACB的平分線，∠A為x°
∴∠BCD=（∠A+∠ABC）、∠DBC=（∠A+∠ACB），
由三角形內角和定理得，∠BDC=180°-∠BCD-∠DBC，
=180°-[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°-（∠A+180°），
=90°-∠A；

（3）如圖：∵BD為△ABC的角平分線，交AC與點E，CD為△ABC外角∠ACE的平分線，兩角平分線交于點D
∴∠1=∠2，∠5=（∠A+2∠1），∠3=∠4，
在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3
∴∠1+∠3=180°-∠A----①
在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1），
即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A----②，
把①代入②得2∠D=∠A．

分析：（1）根據(jù)三角形角平分線的性質可得，∠BOC+∠OCB=90°-∠A，根據(jù)三角形內角和定理可得∠BOC=90°+∠A；
（2）根據(jù)三角形外角平分線的性質可得∠BCD=（∠A+∠ABC）、∠DBC=（∠A+∠ACB）；根據(jù)三角形內角和定理可得∠BDC=90°-∠A；
（3）根據(jù)BD為△ABC的角平分線，CD為△ABC外角∠ACE的平分線，可知，∠A=180°-∠1-∠3，∠D=180°-∠4=∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1），兩式聯(lián)立可得2∠D=∠A．
點評：此類題目比較簡單，考查的是三角形內角與外角的關系，角平分線的性質，三角形內角和定理，屬中學階段的常規(guī)題．