【題目】已知△ABC中,∠BAC=100°.

1)若∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O,如圖1所示,試求∠BOC的大;

2)若∠ABC和∠ACB的三等分線(即將一個角平均分成三等分的射線)相交于O,O1,如圖2所示,試求∠BOC的大;

3)如此類推,若∠ABC和∠ACBn等分線自下而上依次相交于O,O1,O2…,如圖3所示,試探求∠BOC的大小與n的關系,并判斷當∠BOC=170°時,是幾等分線的交線所成的角.

【答案】1;(2 ;(3)∠BOC=180°-,八等分線.

【解析】

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理先求得∠ABC+ACB的度數(shù),

1)根據(jù)角平分線的定義可求得∠OBC+OCB的度數(shù),從而利用三角形內(nèi)角和定理求∠BOC的度數(shù);

2)根據(jù)三等分線的定義可求得∠OBC+OCB的度數(shù),從而利用三角形內(nèi)角和定理求∠BOC的度數(shù);

3)根據(jù)n等分線的定義可表示出∠OBC+OCB的度數(shù),從而利用三角形內(nèi)角和定理表示出∠BOC的度數(shù),然后將∠BOC=170°代入求出n的值即可.

解:∵∠BAC=100°,

∴∠ABC+ACB=180°-100°=80°

1)∵點O是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點,

∴∠OBC+OCB=ABC +ACB =(∠ABC+ACB=40°,

∴∠BOC=180°-(∠OBC+OCB=180°-40°=140°

2)∵點O是∠ABC和∠ACB的三等分線的交點,

∴∠OBC+OCB=ABC +ACB =(∠ABC+ACB=,

∴∠BOC=180°-(∠OBC+OCB=180°-=;

3)∵點O是∠ABC和∠ACBn等分線的交點,

∴∠OBC+OCB=ABC +ACB =(∠ABC+ACB=,

∴∠BOC=180°-(∠OBC+OCB=180°-,

當∠BOC=170°時,即170°=180°-,

解得:n=8,即是八等分線的交線所成的角.

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求證:______________________________________________________.

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你能求出它們的和嗎?

計算方法:如果要求1+3+32+33+…+320的值,

可令S=1+3+32+33+…+320

將①式兩邊同乘以3,得3S=3+32+33+…+320+321

由②式左右兩邊分別減去①式左右兩邊,

3S-S=3+32+33+…+320+321)-(1+3+32+33+…+320),

2S=3211,兩邊同時除以2.

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