Question

在△ABC中，∠A=60°，AB=10，AC=8，⊙O與邊AB，AC相切，設(shè)⊙O與邊AB相切的點(diǎn)為E．
（1）求⊙O的半徑R與EA的長x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求當(dāng)⊙O與△ABC三邊相切時，⊙O的半徑R；
（3）若⊙O在變化過程中都是落在△ABC內(nèi)（含相切）時，寫出x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）設(shè)⊙O與邊AC相切于點(diǎn)F，連接OA、OE、OF，如圖1，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠AEO=90°，根據(jù)切線長定理可得∠EAO=30°，然后在Rt△AEO中運(yùn)用三角函數(shù)就可解決問題；
（2）過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，設(shè)⊙O與邊BC相切于點(diǎn)G，連接OG，OA、OB、OC，如圖2，在Rt△AHC中運(yùn)用三角函數(shù)可求出HC、AH，然后在Rt△BHC中運(yùn)用勾股定理可求出BC，然后運(yùn)用等積變換就可求出⊙O的半徑；
（3）只需先求出臨界位置（⊙O與△ABC三邊相切）時對應(yīng)的x的值，就可解決問題．

解答：解：（1）設(shè)⊙O與邊AC相切于點(diǎn)F，連接OA、OE、OF，如圖1．
根據(jù)切線的性質(zhì)可得：∠AEO=∠AFO=90°，
根據(jù)切線長定理可得：∠EAO=∠FAO=

1

2

∠BAC=30°．
在Rt△AEO中，
tan∠EAO=

OE

AE

=

R

x

=

3

3

，
∴R=

3

3

x，
則⊙O的半徑R與EA的長x之間的函數(shù)關(guān)系式為R=

3

3

x；

（2）過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，設(shè)⊙O與邊BC相切于點(diǎn)G，連接OG，OA、OB、OC，如圖2，
則有OE⊥AB，OF⊥AC，OG⊥BC．
在Rt△AHC中，
HC=AC•sin∠HAC=8×

3

2

=4

3

，
AH=AC•cos∠HAC=8×

1

2

=4，
∴BH=AB-AH=10-4=6．
在Rt△BHC中，
BC²=BH²+CH²=36+48=84，
∴BC=2

21

．
∵S_△ABC=S_△ABO+S_△BCO+S_△ACO，
∴

1

2

AB•CH=

1

2

AB•OE+

1

2

BC•OG+

1

2

AC•OF，
∴10×4

3

=10R+2

21

R+8R，
解得：R=3

3

-

7

，
∴當(dāng)⊙O與△ABC三邊相切時，⊙O的半徑R為3

3

-

7

；

（3）由（2）可知：當(dāng)⊙O與△ABC三邊相切時，R=3

3

-

7

．
此時，由R=

3

3

x得x=

3

R=9-

21

，
∴x的取值范圍為0＜x≤9-

21

．

點(diǎn)評：本題主要考查了切線的性質(zhì)、切線長定理、三角函數(shù)、勾股定理等知識，運(yùn)用等積變換是解決第（2）小題的關(guān)鍵，考慮臨界位置是解決第（3）小題的關(guān)鍵．