分析 如圖,延長(zhǎng)EF交BC于M,連接AM,OM,作FN⊥CD于N,F(xiàn)R⊥BC于R,GH⊥OM于H交FR于T,首先證明△AMF≌△AMB,得BM=MF,設(shè)BM=MF=x,在RT△EMC中利用勾股定理求出x,推出BM=MC,設(shè)GC=y,根據(jù)FT∥OH,得$\frac{FT}{OH}$=$\frac{TG}{GH}$=$\frac{RC}{CM}$=$\frac{EF}{EM}$=$\frac{2}{5}$,列出方程求出GC,再想辦法分別求出FG、BG、BF即可解決問題.
解答 解;如圖延長(zhǎng)EF交BC于M,連接AM,OM,作FN⊥CD于N,F(xiàn)R⊥BC于R,GH⊥OM于H交FR于T.
在RT△AMF和RT△AMB中,
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AM}\\{AF=AB}\end{array}\right.$,
∴△AMF≌△AMB,
∴BM=MF,設(shè)BM=MF=x,
在RT△EMC中,∵EM2=EC2+MC2,
∴(2+x)2=(6-x)2+42,
∴x=3,
∴BM=MC=3,
∵OB=OD,
∴OM=$\frac{1}{2}$CD=3,
∵FR∥EC,
∴$\frac{FR}{EC}$=$\frac{MF}{ME}$,
∴$\frac{FR}{4}$=$\frac{3}{5}$,
∴FR=$\frac{12}{5}$,
設(shè)CG=y,則FT=$\frac{12}{5}$-y.OH=3-y,
∵FT∥OH,
∴$\frac{FT}{OH}$=$\frac{TG}{GH}$=$\frac{RC}{CM}$=$\frac{EF}{EM}$=$\frac{2}{5}$,
∴$\frac{\frac{12}{5}-y}{3-y}$=$\frac{2}{5}$,
∴y=2,
∴CG=2,NG=CN-CG=$\frac{2}{5}$,
在RT△FNG中,F(xiàn)G=$\sqrt{F{N}^{2}+N{G}^{2}}$=$\sqrt{(\frac{6}{5})^{2}+(\frac{2}{5})^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$,
在RT△BCG中,BG=$\sqrt{B{C}^{2}+C{G}^{2}}$=2$\sqrt{10}$,
∵AB=AF,MB=MF,
∴AM⊥BF,
∵$\frac{1}{2}$AM•BF=2×$\frac{1}{2}$×AB×BM,
∴BF=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$,
∴△BFG的周長(zhǎng)=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$+2$\sqrt{10}$+$\frac{2\sqrt{10}}{5}$=$\frac{12}{5}$($\sqrt{5}$+$\sqrt{10}$).
故答案為$\frac{12}{5}$($\sqrt{5}$+$\sqrt{10}$).
或延長(zhǎng)EF交BC于M,連接OM,易證△ABM≌△AFM,所以MF=BM=OM=3,所以EF=EG=CG=2,所以BG=2$\sqrt{10}$.在三角形ABM中易得BF=$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$.易知∠FGE=∠BGC,F(xiàn)G=$\frac{1}{5}$BG,所以FG=$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、翻折變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形,利用勾股定理構(gòu)建方程解決問題,題目比較難,屬于中考填空題中的壓軸題.
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A. | 2 | B. | $\sqrt{3}$ | C. | $\sqrt{2}$ | D. | 1 |
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