5.如圖,在正方形ABCD中,AB=6,點(diǎn)E在邊CD上,DE=$\frac{1}{3}$DC,連接AE,將△ADE沿AE翻折,點(diǎn)D落在點(diǎn)F處,點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn),連接OF并延長(zhǎng)OF交CD于點(diǎn)G,連接BF,BG,則△BFG的周長(zhǎng)是$\frac{12}{5}$($\sqrt{5}$+$\sqrt{10}$).

分析 如圖,延長(zhǎng)EF交BC于M,連接AM,OM,作FN⊥CD于N,F(xiàn)R⊥BC于R,GH⊥OM于H交FR于T,首先證明△AMF≌△AMB,得BM=MF,設(shè)BM=MF=x,在RT△EMC中利用勾股定理求出x,推出BM=MC,設(shè)GC=y,根據(jù)FT∥OH,得$\frac{FT}{OH}$=$\frac{TG}{GH}$=$\frac{RC}{CM}$=$\frac{EF}{EM}$=$\frac{2}{5}$,列出方程求出GC,再想辦法分別求出FG、BG、BF即可解決問題.

解答 解;如圖延長(zhǎng)EF交BC于M,連接AM,OM,作FN⊥CD于N,F(xiàn)R⊥BC于R,GH⊥OM于H交FR于T.
在RT△AMF和RT△AMB中,
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AM}\\{AF=AB}\end{array}\right.$,
∴△AMF≌△AMB,
∴BM=MF,設(shè)BM=MF=x,
在RT△EMC中,∵EM2=EC2+MC2,
∴(2+x)2=(6-x)2+42,
∴x=3,
∴BM=MC=3,
∵OB=OD,
∴OM=$\frac{1}{2}$CD=3,
∵FR∥EC,
∴$\frac{FR}{EC}$=$\frac{MF}{ME}$,
∴$\frac{FR}{4}$=$\frac{3}{5}$,
∴FR=$\frac{12}{5}$,
設(shè)CG=y,則FT=$\frac{12}{5}$-y.OH=3-y,
∵FT∥OH,
∴$\frac{FT}{OH}$=$\frac{TG}{GH}$=$\frac{RC}{CM}$=$\frac{EF}{EM}$=$\frac{2}{5}$,
∴$\frac{\frac{12}{5}-y}{3-y}$=$\frac{2}{5}$,
∴y=2,
∴CG=2,NG=CN-CG=$\frac{2}{5}$,
在RT△FNG中,F(xiàn)G=$\sqrt{F{N}^{2}+N{G}^{2}}$=$\sqrt{(\frac{6}{5})^{2}+(\frac{2}{5})^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$,
在RT△BCG中,BG=$\sqrt{B{C}^{2}+C{G}^{2}}$=2$\sqrt{10}$,
∵AB=AF,MB=MF,
∴AM⊥BF,
∵$\frac{1}{2}$AM•BF=2×$\frac{1}{2}$×AB×BM,
∴BF=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$,
∴△BFG的周長(zhǎng)=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$+2$\sqrt{10}$+$\frac{2\sqrt{10}}{5}$=$\frac{12}{5}$($\sqrt{5}$+$\sqrt{10}$).
故答案為$\frac{12}{5}$($\sqrt{5}$+$\sqrt{10}$).
或延長(zhǎng)EF交BC于M,連接OM,易證△ABM≌△AFM,所以MF=BM=OM=3,所以EF=EG=CG=2,所以BG=2$\sqrt{10}$.在三角形ABM中易得BF=$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$.易知∠FGE=∠BGC,F(xiàn)G=$\frac{1}{5}$BG,所以FG=$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、翻折變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形,利用勾股定理構(gòu)建方程解決問題,題目比較難,屬于中考填空題中的壓軸題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.如圖,正方形ABCD中,AB=12,點(diǎn)E在邊BC上,BE=EC,將△DCE沿DE對(duì)折至△DFE,延長(zhǎng)EF交邊AB于點(diǎn)G,連接DG,BF.
(1)求證:△DAG≌△DFG;
(2)求證:BG=2AG;
(3)求S△BEF的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

16.如圖,菱形ABCD中,∠BAD=76°,AB的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)F,則∠CFD的度數(shù)為( 。
A.86°B.76°C.66°D.52°

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13.如圖,點(diǎn)D在等邊△ABC內(nèi),將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△ACE,連接BE、DE,若∠AEB=45°,則∠DBE的度數(shù)為(  )
A.15°B.20°C.25°D.30°

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

20.如圖,在△ABC中,∠A=63°,直線MN∥BC,且分別與AB,AC相交于點(diǎn)D,E,若∠AEN=133°,則∠B的度數(shù)為70°.

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10.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E.
(1)判斷△ABC的形狀,并說明理由;
(2)經(jīng)過B,C兩點(diǎn)的直線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D,點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PCD的面積最大時(shí),Q從點(diǎn)P出發(fā),先沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到拋物線的對(duì)稱軸上點(diǎn)M處,再沿垂直于拋物線對(duì)稱軸的方向運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸上的點(diǎn)N處,最后沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A處停止.當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑最短時(shí),求點(diǎn)N的坐標(biāo)及點(diǎn)Q經(jīng)過的最短路徑的長(zhǎng);
(3)如圖2,平移拋物線,使拋物線的頂點(diǎn)E在射線AE上移動(dòng),點(diǎn)E平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E′,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′,將△AOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△A1OC1的位置,點(diǎn)A,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A1,C1,且點(diǎn)A1恰好落在AC上,連接C1A′,C1E′,△A′C1E′是否能為等腰三角形?若能,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)E′的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說明理由.

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17.如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分線分別與AC,BC及AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D,E,F(xiàn),⊙O是△BEF的外接圓,∠EBF的平分線交EF于點(diǎn)G,交⊙O于點(diǎn)H,連接BD、FH.
(1)試判斷BD與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)當(dāng)AB=BE=1時(shí),求⊙O的面積;
(3)在(2)的條件下,求HG•HB的值.

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14.如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,正比例函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A(2,-2).
(1)分別求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式;
(2)將直線OA向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后與y軸交于點(diǎn)B,與反比例函數(shù)圖象在第四象限內(nèi)的交點(diǎn)為C,連接AB,AC,求點(diǎn)C的坐標(biāo)及△ABC的面積.

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15.如圖,把正方形紙片ABCD沿對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線對(duì)折后展開,折痕為MN,再過點(diǎn)B折疊紙片,使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處,折痕為BE.若AB的長(zhǎng)為2,則FM的長(zhǎng)為( 。
A.2B.$\sqrt{3}$C.$\sqrt{2}$D.1

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