Question

15．如圖，正方形ABCD中，AB=12，點(diǎn)E在邊BC上，BE=EC，將△DCE沿DE對折至△DFE，延長EF交邊AB于點(diǎn)G，連接DG，BF．
（1）求證：△DAG≌△DFG；
（2）求證：BG=2AG；
（3）求S_△BEF的值．

Answer 1

分析 （1）由折疊得到結(jié)論，用HL判斷出Rt△DAG≌Rt△DFG，
（2）根據(jù)線段的關(guān)系，表示出AG，F(xiàn)G，EG，BG，利用勾股定理求出x值即可；
（3）求出BH，然后用三角形面積公式求解即可．

解答 解：（1）由折疊可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DF}\\{DG=DG}\end{array}\right.$，
∴Rt△DAG≌Rt△DFG，
（2）∵正方形邊長是12，
∴BE=EC=EF=6，
設(shè)AG=FG=x，則EG=x+6，BG=12-x，
由勾股定理得：EG²=BE²+BG²，
即：（x+6）²=6²+（12-x）²，
解得：x=4，
∴AG=GF=4，BG=8，
∴BG=2AG，
 （3）如圖，

過點(diǎn)B作BH⊥GE，垂足為H，
由（2，）有，BG=12-4=8，BE=6，GE=10，
∴BH=$\frac{BG×BE}{GE}$=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$EF×BH=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{24}{5}$=$\frac{72}{5}$．

點(diǎn)評 此題是四邊形綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是勾股定理的運(yùn)用．