Question

【題目】（1）觀察推理：如圖1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過點(diǎn)C，點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D，E．求證：△AEC≌△CDB；

（2）類比探究：如圖2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，將斜邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AB'，連接B′C，求△AB′C的面積.

（3）拓展提升：如圖3，等邊△EBC中，EC＝BC＝3cm，點(diǎn)O在BC上且OC＝2cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E沿射線EC以lcm/s速度運(yùn)動(dòng)，連接OP，將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段OF，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

①當(dāng)t＝______秒時(shí)，OF∥ED.

②當(dāng)t＝______秒時(shí)，點(diǎn)F恰好落在射線EB上．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2；（3）①1；②4

【解析】

（1）先利用等角的余角相等得到∠EAC＝∠BCD，根據(jù)“AAS”證明△AEC≌△CDB即可；（2）如圖，作B′D⊥AC于D，利用等角的余角相等得到∠B＝∠B′AC，利用AAS可證明△B′AD≌△ABC，得到B′D＝AC＝2，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可得答案；（3）①如圖，由題意得EP＝t，則PC＝3﹣t，由平行線的性質(zhì)可得∠FOC=BCE=60°，根可旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠PQC=60°，可證明△COP是等邊三角形，可得PC＝OC＝2，即可求t的值；②如圖，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠FOP＝120°，OP＝OF，利用外角性質(zhì)及角的和差關(guān)系可得∠1=∠3，利用AAS可證明△BOF≌△CPO，可得PC＝OB＝1，則EP＝EC+PC＝4，然后計(jì)算點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t即可．

（1）∵BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC＝∠BDC＝90°，

∵∠EAC+∠ACE＝90°，∠BCD+∠ACE＝90°，

∴∠EAC＝∠BCD，

在△AEC和△CDB中，

∴△AEC≌△CDB（AAS）.

（2）如圖，作B′D⊥AC于D，

∴∠ADB′=90°，

∵斜邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AB′，

∴AB′＝AB，∠B′AB＝90°，即∠B′AC+∠BAC＝90°，

∵∠B+∠CAB＝90°，

∴∠B＝∠B′AC，

在△B′AD和△ABC中，

∴△B′AD≌△ABC（AAS），

∴B′D＝AC＝2，

∴△AB′C的面積＝AC·B′D=×2×2＝2.

（3）①如圖，由題意得：EP＝t，則PC＝3﹣t，

∵OF∥ED

∴∠FOC=BCE，

∵線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段OF，

∴∠POF＝120°，

∴∠POC＝60°，

∵△BEC是等邊三角形，

∴∠BCE＝60°

∴△COP是等邊三角形，

∴PC＝OC＝2，

∴2＝3﹣t，

∴t＝1，

即當(dāng)t＝1秒時(shí)，OF∥ED，

故答案為：1

②如圖，∵OC＝2，

∴OB＝BC﹣OC＝1，

∵線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段OF，

∴∠FOP＝120°，OP＝OF，

∴∠1+∠2＝60°，

∵△BCE為等邊三角形，

∴∠BCE＝∠CBE＝60°，

∴∠FBO＝120°，∠PCO＝120°，

∴∠2+∠3＝∠BCE＝60°，

∴∠1＝∠3，

在△BOF和△CPO，，

∴△BOF≌△CPO（AAS），

∴PC＝OB＝1，

∴EP＝EC+PC＝3+1＝4，

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝＝4s，

故答案為：4