【題目】為判斷命題“有三條邊相等且一組對角相等的四邊形是菱形”的真假,數(shù)學課上,老師給出菱形ABCD如圖1,并作出了一個四邊形ABC′D.具體作圖過程如下:
如圖2,在菱形ABCD中,
①連接BD,以點B為圓心,以BD的長為半徑作圓弧,交CD于點P;
②分別以B、D為圓心,以BC、PC的長為半徑作圓弧,兩弧交于點C′.
③連接BC′、DC′,得四邊形ABC′D.

依據(jù)上述作圖過程,解決以下問題:
(1)求證:∠A=∠C′;AD=BC′.
(2)根據(jù)作圖過程和(1)中的結(jié)論,說明命題“有三條邊相等且有一組對頂角相等的四邊形是菱形”是命題.(填寫“真”或“假”)

【答案】
(1)證明:連接BP,如圖所示:

∵四邊形ABCD是菱形,

∴AD=BC,∠A=∠BCD,

根據(jù)題意得:BC=B′C,BD=BP,DC′=PC,

∴AD=BC′,

在△BPC和△BDC′中,

,

∴△BPC≌△BDC′(SSS),

∴∠BCD=∠C′,

∴∠A=∠C′


(2)假
【解析】證明:(2)由(1)可知四邊形ABC′D中,AB=AD=BC′,∠A=∠C,但四邊形ABC′D不是菱形,
所以有三條邊相等且有一組對頂角相等的四邊形是菱形”是假命題,
所以答案是:假.

【考點精析】掌握菱形的判定方法和命題與定理是解答本題的根本,需要知道任意一個四邊形,四邊相等成菱形;四邊形的對角線,垂直互分是菱形.已知平行四邊形,鄰邊相等叫菱形;兩對角線若垂直,順理成章為菱形;我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題,那么另一個叫做它的逆命題;經(jīng)過證明被確認正確的命題叫做定理.

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(2)把圖2補充完整;
(3)圖3中“不等式與不等式組”內(nèi)容所在扇形的圓心角為度;
表1

領(lǐng)域

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171

圖形與幾何

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