Question

已知直線y=kx+3-k，無(wú)論k取哪一個(gè)實(shí)數(shù)，所得的直線總經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，如圖，當(dāng)k=時(shí)，所得的直線分別交x軸、y軸于A，B兩點(diǎn)，
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）對(duì)于直線y=kx+3-k，當(dāng)k=1時(shí)，所得的直線與直線AB交于點(diǎn)P，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的拋物線y=a（x-1）²+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及拋物線的表達(dá)式；
（3）設(shè)k≠時(shí)，直線y=kx+3-k與（2）中拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)E，求當(dāng) k為何值時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)D，使得四邊形ABED是平行四邊形．

Answer 1

解：（1）當(dāng)k=時(shí)，直線y=x+，
把x=0代入y=x+得y=，
∴B（0，），
把y=0代入y=x+得x=-1，
∴A（-1，0）；
（2）當(dāng)k=1，直線y=x+2，
由，解得，
∴P（1，3）
∵拋物線y=a（x-1）²+b的頂點(diǎn)坐標(biāo)P（1，3），
∴b=3，
把A（-1，0）代入拋物線y=a（x-1）²+3解得a=-，
∴拋物線的表達(dá)式是y=-（x-1）²+3；
（3）把P（1，3）代入y=kx+3-k，左邊=右邊，
∴直線y=kx+3-k經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為P（1，3），
∵P在直線AB上，由題意可知E顯然不與P重合，如圖：由（2）得拋物線的對(duì)稱軸為x=1，
設(shè)對(duì)稱軸交x軸于C，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），過(guò)E作EF⊥y軸于F，
若四邊形ABED是平行四邊形，則△EFB≌△ACD，
得EF=AC=2，
∴x=2，
將x=2代入拋物線的表達(dá)式得y=，
∴E（2，），
又∵直線y=kx+3-k過(guò)點(diǎn)E，
∴=2k+3-k，
解得k=-，
答：當(dāng)k=-時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)D，使得四邊形ABED是平行四邊形．
分析：（1）把k=代入y=kx+3-k，即可得到直線的解析式，再分別令x=0和y=0即可求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)k=1時(shí)，則直線的解析式為y=x+2，聯(lián)立兩直線的解析式可求出P的坐標(biāo)，把A（-1，0）代入即可求出拋物線的表達(dá)式；
（3）設(shè)對(duì)稱軸交x軸于C，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），過(guò)E作EF⊥y軸于F，若四邊形ABED是平行四邊形，則△EFB≌△ACD，得EF=AC=2，所以x=2，把x=2代入拋物線的解析式可求出y的值，又因?yàn)橹本�y=kx+3-k過(guò)點(diǎn)E，進(jìn)而求出k的值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，解二元一次方程組，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的連接和掌握，熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性強(qiáng)．