Question

若a是自然數(shù)，且a⁴-4a³+15a²-30a+27的值是個質(zhì)數(shù)，求這個質(zhì)數(shù)．

Answer 1

考點：質(zhì)數(shù)與合數(shù)

專題：

分析：首先分解因式，進(jìn)而利用質(zhì)數(shù)的定義得出|a²-a+9|=1且|a²-3a+3|為質(zhì)數(shù)（1）或|a²-3a+3|=1且|a²-a+9|為質(zhì)數(shù)（2）；進(jìn)而求出即可．

解答：解：a⁴-4a³+15a²-30a+27=（a²-a+9）（a²-3a+3）
則|a²-a+9|=1且|a²-3a+3|為質(zhì)數(shù)（1）；
或|a²-3a+3|=1且|a²-a+9|為質(zhì)數(shù)（2）；
（1）無自然數(shù)解
由（2）得：a₁=1（不合題意舍去），a₂=2，
綜上所述：a=2，
故a⁴-4a³+15a²-30a+27=1×（2²-2+9）=11，
即這個質(zhì)數(shù)為11．

點評：此題主要考查了質(zhì)數(shù)的定義以及因式分解，正確利用質(zhì)數(shù)的定義得出是解題關(guān)鍵．