【題目】綜合與探究
如圖,拋物線y=﹣x2+2x+6與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,其對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)D.與x軸交于點(diǎn)E.
(1)求點(diǎn)A,B,D的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)G為拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),從點(diǎn)D出發(fā),沿直線DE以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)C作x軸的平行線交拋物線于M,N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊).
設(shè)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.
①當(dāng)t為何值時(shí),以點(diǎn)M,N,B,E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形;
②連接BM,在點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的過程中,是否存在點(diǎn)M.使得∠MBD=∠EDB,若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)點(diǎn)Q為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),以線段MN為對(duì)角線作萎形MENQ,當(dāng)菱形MENQ為正方形時(shí),請(qǐng)直接寫出t的值.
【答案】(1)A(﹣2,0),B(6,0);D(2,8);(2)①見解析;②存在,理由見解析;
(3)t=.
【解析】分析:(1)令y=0,解方程﹣x2+2x+6=0,即可求出A、B點(diǎn)的坐標(biāo),把y=﹣x2+2x+6改寫成頂點(diǎn)式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出D點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)①要使四邊形MEBN為平行四邊形,則MN=BE=4,根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出點(diǎn)M的坐標(biāo),從而求出DG的長(zhǎng),由DG=2t可求出t的值;②設(shè)BM交DE于P,如圖,設(shè)P(2,m),在Rt△BEP中,根據(jù)PE2+BE2=PB2,列方程求出m的值,用待定系數(shù)法求出直線BP的解析式,與二次函數(shù)解析式聯(lián)立,可求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)由正方形的性質(zhì)得GN=GE=8﹣2t,從而表示出點(diǎn)N的坐標(biāo),把點(diǎn)N的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出t的值.
詳解:(1)當(dāng)y=0時(shí),﹣x2+2x+6=0,解得x1=﹣2,x2=6,則A(﹣2,0),B(6,0);
∵y=﹣(x﹣2)2+8,
∴D(2,8);
(2)①∵E(2,0),B(6,0),
∴BE=4,
∵四邊形MEBN為平行四邊形,
∴MN=BE=4,
∵MN∥x軸,
∴MG=NG=2,
∴M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,此時(shí)M(0,6)
∴2t=8﹣6,解得t=1,
∴當(dāng)t為1s時(shí),以點(diǎn)M,N,B,E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形;
②存在.
設(shè)BM交DE于P,如圖,設(shè)P(2,m)
∵∠MBD=∠EDB,
∴PD=PB=8﹣m,
在Rt△BEP中,∵PE2+BE2=PB2,
∴m2+42=(8﹣m)2,解得m=5,
∴P(2,3),
設(shè)直線BP的解析式為y=px+q,
把B(6,0),P(2,3)代入得,解得,
∴直線BP的解析式為y=﹣x+,
解方程組得或,
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣,);
(3)GE=8﹣2t,
∵菱形MENQ為正方形時(shí),
∴GN=GE=8﹣2t,
∴N(10﹣2t,8﹣2t),
把N(10﹣2t,8﹣2t)代入y=﹣x2+2x+6得﹣(10﹣2t)2+2(10﹣2t)+6=8﹣2t,
整理得t2﹣9t+16,
∴t=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問題背景:如圖1,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,作AD⊥BC于點(diǎn)D,則D為BC的中點(diǎn),∠BAD=∠BAC=60°,于是;
遷移應(yīng)用:如圖2,△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=120°,D,E,C三點(diǎn)在同一條直線上,連接BD.
(1)求證:△ADB≌△AEC;
(2)若AD=2,BD=3,請(qǐng)計(jì)算線段CD的長(zhǎng);
拓展延伸:如圖3,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,在∠ABC內(nèi)作射線BM,作點(diǎn)C關(guān)于BM的對(duì)稱點(diǎn)E,連接AE并延長(zhǎng)交BM于點(diǎn)F,連接CE,CF.
(3)證明:△CEF是等邊三角形;
(4)若AE=4,CE=1,求BF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于,兩點(diǎn).
(1)試確定上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)為何值時(shí)反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)的值;
(3)當(dāng)為何值時(shí)一次函數(shù)值大于比例函數(shù)的值;
(4)求的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】觀察下列兩個(gè)等式:,給出定義如下:我們稱使等式a﹣b=2ab﹣1成立的一對(duì)有理數(shù)a,b為“同心有理數(shù)對(duì)”,記為(a,b),如:數(shù)對(duì)(1,),(2,),都是“同心有理數(shù)對(duì)”.
(1)數(shù)對(duì)(﹣2,1),(3,)是 “同心有理數(shù)對(duì)”的是__________.
(2)若(a,3)是“同心有理數(shù)對(duì)”,求a的值;
(3)若(m,n)是“同心有理數(shù)對(duì)”,則(﹣n,﹣m) “同心有理數(shù)對(duì)”(填“是”或“不是”),說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩車從城出發(fā)勻速行駛至城在個(gè)行駛過程中甲乙兩車離開城的距離(單位:千米)與甲車行駛的時(shí)間(單位:小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.則下列結(jié)論: ①兩城相距千米;②乙車比甲車晚出發(fā)小時(shí),卻早到小時(shí);③乙車出發(fā)后小時(shí)追上甲車;④在乙車行駛過程中.當(dāng)甲、乙兩車相距千米時(shí),或,其中正確的結(jié)論是_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】八年級(jí)全體同學(xué)參加了學(xué)校捐款活動(dòng),隨機(jī)抽取了部分同學(xué)捐款的情況統(tǒng)計(jì)圖如圖所示
(1)本次共抽查學(xué)生 人,并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)捐款金額的眾數(shù)是 ,中位數(shù)是 ;
(3)在八年級(jí)600名學(xué)生中,捐款20元及以上的學(xué)生估計(jì)有 人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以下是八(1)班學(xué)生身高的統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)回答以下問題:
(1)求出統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖缺的數(shù)據(jù).
(2)八(1)班學(xué)生身高這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在第幾組?
(3)如果現(xiàn)在八(1)班學(xué)生的平均身高是1.63m,已確定新學(xué)期班級(jí)轉(zhuǎn)來(lái)兩名新同學(xué),新同學(xué)的身高分別是1.54m和1.77m,那么這組新數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在第幾組?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.
(1)求證:△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn),過點(diǎn)O作射線OC,使∠BOC=135°,將一個(gè)含45°角的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處,斜邊OM與直線AB重合,另外兩條直角邊都在直線AB的下方.
(1)將圖1中的三角板繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,如圖2所示,此時(shí)∠BOM= ;在圖2中,OM是否平分∠CON?請(qǐng)說明理由;
(2)接著將圖2中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置所示,使得ON在∠AOC的內(nèi)部,請(qǐng)?zhí)骄浚?/span>∠AOM與∠CON之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按每秒4.5°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)的過程中,當(dāng)旋轉(zhuǎn)到第 秒時(shí),∠COM與∠CON互補(bǔ).
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