Question

【題目】如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，使∠BOC＝135°，將一個(gè)含45°角的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，斜邊OM與直線AB重合，另外兩條直角邊都在直線AB的下方．

（1）將圖1中的三角板繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖2所示，此時(shí)∠BOM＝ ；在圖2中，OM是否平分∠CON？請說明理由；

（2）接著將圖2中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置所示，使得ON在∠AOC的內(nèi)部，請?zhí)骄浚?/span>∠AOM與∠CON之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按每秒4.5°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到第 秒時(shí)，∠COM與∠CON互補(bǔ)．

Answer 1

【答案】（1）90°，OM平分∠CON；（2）∠AOM=∠CON，詳見解析；（3）15或60.

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)得∠BOM=90°，求出∠COM=45°=∠MON即可得到OM平分∠CON.

（2）先求出∠AOC=45°,得到∠CON+∠AON=45°，再由∠MON=45°得到∠AOM+∠AON=45°，即可證得∠AOM=∠CON；

（3）分三種情況討論：①當(dāng)OM在∠BOC內(nèi)部時(shí)，②當(dāng)OM在∠BOC外部，ON在∠BOC內(nèi)部時(shí)，③當(dāng)ON在∠BOC外部時(shí)，分別求出時(shí)間t的值.

(1)由題意得，∠BOM=90°，∠MON=45°，

OM平分∠CON,理由如下：

∵∠BOC=135°，

∴∠COM=∠BOC-∠BOM=45°，

∴∠COM=∠MON

∴OM平分∠CON；

（2）∠AOM=∠CON，理由如下：

∵∠AOC=180°-∠BOC=45°,

∴∠CON+∠AON=45°,

∵∠MON=45°,

∴∠AOM+∠AON=45°,

∴∠AOM=∠CON；

（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒（0），

①當(dāng)OM在∠BOC內(nèi)部時(shí)，∠COM=，

∴2+45=180，

得t=15；

②當(dāng)OM在∠BOC外部，ON在∠BOC內(nèi)部時(shí)，

∠COM+∠CON=45°,不合題意，舍去；

③當(dāng)ON在∠BOC外部時(shí)，∠CON=,

∴2=180，

得t=60，

∴當(dāng)旋轉(zhuǎn)到第15或60秒時(shí)，∠COM與∠CON互補(bǔ)