【題目】如圖1,在△ABC中,∠ABC=90°,AO是△ABC的角平分線,以O為圓心,OB為半徑作圓交BC于點(diǎn)D,

1)求證:直線AC是⊙O的切線;

2)在圖2中,設(shè)AC與⊙O相切于點(diǎn)E,連結(jié)BE,如果AB=4tanCBE=

①求BE的長;②求EC的長.

【答案】(1)見解析;(2)①;②.

【解析】

(1)作作OE⊥AC,由AO是∠BAC的角平分線,得到∠BAO=∠EAO,判斷出△ABO≌△AEO(AAS),得到OE=OB,所以直線AC是⊙O的切線;

(2)先利用AE與⊙O相切于點(diǎn)E, AB=AE=4,再用三角函數(shù)求出OB,BC,然后用三角形相似,得到BC=2CE, ,用勾股定理求出CD,最后用切割線定理即可

證明:(1)如圖1,

作OE⊥AC, ∴∠OEA=90°,

∵∠ABC=90,∴∠OEA=∠ABC,

∵AO是△ABC的角平分線,∴∠BAO=∠EAO,

在△ABO和△AEO中,

∴△ABO≌△AEO(AAS),∴OE=OB,

∵OB是⊙O的半徑,∴OE是⊙O的半徑, ∴直線AC是⊙O的切線;

(2)①如圖2,∵∠ABO=90°,

∴AB切⊙O于B,

∵AE與⊙O相切于點(diǎn)E, ∴AB=AE=4,

∵AO是△ABC的角平分線, ∴AO⊥BE, ∴∠BAO+∠ABE=90°,

∵∠CBE+∠ABE=90°, ∴∠BAO=∠CBE,

∵tan∠CBE= , ∴tan∠BAO= ,

在Rt△ABO中,AB=4,tan∠BAO= , ∴ , ∴BD=2OB=4,

∵AB是⊙O的直徑, ∴∠BED=90°,

又∵tan∠CBE= , ∴BE=2DE,

在Rt△BDE中, ∵BE2+DE2=BD2, ∴ , 解得 ;

②∵AC是⊙O的切線, ∴∠CED=∠CBE,

∵∠DCE=∠ECB,∴△CDE∽△CEB, ∴

又∵tan∠CBE= , ∴BC=2CE, ,

∵BD=BC﹣CD ∴ , 解得

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知A3,m),B﹣2﹣3)是直線AB和某反比例函數(shù)的圖象的兩個交點(diǎn).

1)求直線AB和反比例函數(shù)的解析式;

2)觀察圖象,直接寫出當(dāng)x滿足什么范圍時,直線AB在雙曲線的下方;

3)反比例函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)C,使得△OBC的面積等于△OAB的面積?如果不存在,說明理由;如果存在,求出滿足條件的所有點(diǎn)C的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,點(diǎn)F從菱形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā),沿A→D→B1cm/s的速度勻速運(yùn)動到點(diǎn)B,圖2是點(diǎn)F運(yùn)動時,FBC的面積ycm2)隨時間xs)變化的關(guān)系圖象,則a的值為______

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(1)閱讀理解

利用旋轉(zhuǎn)變換解決數(shù)學(xué)問題是一種常用的方法.如圖1,點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),PA1,PB,PC2.求∠BPC的度數(shù).

為利用已知條件,不妨把△BPC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△AP′C,連接PP′,則PP′的長為_____;在△PAP′中,易證∠PAP′90°,且∠PP′A的度數(shù)為_____,綜上可得∠BPC的度數(shù)為_____;

(2)類比遷移

如圖2,點(diǎn)P是等腰RtABC內(nèi)的一點(diǎn),∠ACB90°PA2,PBPC1,求∠APC的度數(shù);

(3)拓展應(yīng)用

如圖3,在四邊形ABCD中,BC3,CD5,ABACAD.∠BAC2ADC,請直接寫出BD的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】正方形ABCD的邊長為3,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在射線DC,DA上運(yùn)動,且DE=DF.連接BF,作EH⊥BF所在直線于點(diǎn)H,連接CH.

(1)如圖1,若點(diǎn)E是DC的中點(diǎn),CH與AB之間的數(shù)量關(guān)系是 ;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在DC邊上且不是DC的中點(diǎn)時,(1)中的結(jié)論是否成立?若成立給出證明;若不成立,說明理由;

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E,F(xiàn)分別在射線DC,DA上運(yùn)動時,連接DH,過點(diǎn)D作直線DH的垂線,交直線BF于點(diǎn)K,連接CK,請直接寫出線段CK長的最大值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】1)嘗試探究

如圖1,等腰RtABC的兩個頂點(diǎn)BC在直線MN上,點(diǎn)D是直線MN上一個動點(diǎn)(點(diǎn)D在點(diǎn)C的右邊),BC=3,BD=m,在ABC同側(cè)作等腰RtADE,∠ABC=ADE=90°,EF MN于點(diǎn)F,連結(jié)CE.

①求DF的長;

②在判斷ACCE是否成立時,小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以由以下兩種思路解決此問題:

思路一:先證CF=EF,求出∠ECF=45°,從而證得結(jié)論成立.

思路二:先求DFEF的長,再求CF的長,然后證AC2+CE2=AE2,從而證得結(jié)論成立.

請你任選一種思路,完整地書寫本小題的證明過程.(如用兩種方法作答,則以第一種方法評分)

2)拓展探究

(1)中的兩個等腰直角三角形都改為有一個角為的直角三角形,如圖2, ABC=ADE=90°,∠BAC=DAE=30°,BC=3,BD=m,當(dāng)4≤m≤6時,求CE長的范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在RtABC中,∠C=90°,以AC為直徑作⊙O,交ABD,過點(diǎn)OOEAB,交BCE.

(1)求證:ED為⊙O的切線;

(2)如果⊙O的半徑為,ED=2,延長EO交⊙OF,連接DF、AF,求ADF的面積.

【答案】(1)證明見解析;(2)

【解析】試題分析:(1)首先連接OD,由OEAB,根據(jù)平行線與等腰三角形的性質(zhì),易證得 即可得,則可證得的切線;
(2)連接CD,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角,即可得 利用勾股定理即可求得的長,又由OEAB,證得根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例,即可求得的長,然后利用三角函數(shù)的知識,求得的長,然后利用SADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案.

試題解析:(1)證明:連接OD,

OEAB,

∴∠COE=CAD,EOD=ODA,

OA=OD,

∴∠OAD=ODA,

∴∠COE=DOE,

在△COE和△DOE中,

∴△COE≌△DOE(SAS),

EDOD,

ED的切線;

(2)連接CD,交OEM

RtODE中,

OD=32,DE=2,

OEAB,

∴△COE∽△CAB

AB=5,

AC是直徑,

EFAB,

SADF=S梯形ABEFS梯形DBEF

∴△ADF的面積為

型】解答
結(jié)束】
25

【題目】【題目】已知,拋物線y=ax2+ax+b(a≠0)與直線y=2x+m有一個公共點(diǎn)M(1,0),且a<b.

(1)求ba的關(guān)系式和拋物線的頂點(diǎn)D坐標(biāo)(用a的代數(shù)式表示);

(2)直線與拋物線的另外一個交點(diǎn)記為N,求DMN的面積與a的關(guān)系式;

(3)a=﹣1時,直線y=﹣2x與拋物線在第二象限交于點(diǎn)G,點(diǎn)G、H關(guān)于原點(diǎn)對稱,現(xiàn)將線段GH沿y軸向上平移t個單位(t>0),若線段GH與拋物線有兩個不同的公共點(diǎn),試求t的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,△ABC中,∠A30°,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿折線ACB運(yùn)動,點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以vcm/s的速度沿AB運(yùn)動,P,Q兩點(diǎn)同時出發(fā),當(dāng)某一點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)B時,兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為xs),△APQ的面積為ycm2),y關(guān)于x的函數(shù)圖象由C1,C2兩段組成,如圖2所示,有下列結(jié)論:v1;sinB圖象C2段的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x2+x;APQ面積的最大值為8,其中正確有( 。

A.①②B.①②④C.①③④D.①②③④

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,PBC邊上一動點(diǎn)(不含B、C兩點(diǎn)),將△ABP沿直線AP翻折,點(diǎn)B落在點(diǎn)E處;在CD上有一點(diǎn)M,使得將△CMP沿直線MP翻折后,點(diǎn)C落在直線PE上的點(diǎn)F處,直線PECD于點(diǎn)N,連接MA,NA.則以下結(jié)論中正確的有(

①△CMP∽△BPA;

四邊形AMCB的面積最大值為10;

當(dāng)PBC中點(diǎn)時,AE為線段NP的中垂線;

線段AM的最小值為2;

⑤當(dāng)ABP≌△ADN時,BP= 4-4

A. 1B. 2C. 4D. 3

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同步練習(xí)冊答案