Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)A，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，8），對(duì)稱軸為直線x=﹣2．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)直線y=kx+4與拋物線兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2（x1＜x2），當(dāng)時(shí)，求k的值；

（3）連接OB，點(diǎn)P為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作OB的平行線交直線AB于點(diǎn)Q，當(dāng)S△POQ：S△BOQ=1：2時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）之間的距離MN=）

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=x2+x；（2）k=1；（3）P（﹣2，﹣2+2）．

【解析】（1）先利用對(duì)稱軸公式得出b=4a，進(jìn)而利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；

（2）先利用根與系數(shù)的關(guān)系得出，x1+x2=4（k﹣1），x1x2=﹣16，轉(zhuǎn)化已知條件，代入即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出OB=2PQ，進(jìn)而判斷出點(diǎn)C是OB中點(diǎn)，再求出AB解析式，判斷出PC∥AB，即可得出PC解析式，和拋物線解析式聯(lián)立解方程組即可得出結(jié)論．

（1）根據(jù)題意得，，

∴ ，

∴拋物線解析式為y=x2+x；

（2）∵直線y=kx+4與拋物線兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，

∴x2+x=kx+4，

∴x2﹣4（k﹣1）x﹣16=0，

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，x1+x2=4（k﹣1），x1x2=﹣16，

∵，

∴2（x1﹣x2）=x1x2，

∴4（x1﹣x2）2=（x1x2）2，

∴4[（x1+x2）2﹣4x1x2]=（x1x2）2，

∴4[16（k﹣1）2+64]=162，

∴k=1；

（3）如圖，取OB的中點(diǎn)C，

∴BC=OB，

∵B（4，8），

∴C（2，4），

∵PQ∥OB，

∴點(diǎn)O到PQ的距離等于點(diǎn)O到OB的距離，

∵S△POQ：S△BOQ=1：2，

∴OB=2PQ，

∴PQ=BC，∵PQ∥OB，

∴四邊形BCPQ是平行四邊形，

∴PC∥AB，

∵拋物線的解析式為y=x2+x①，

令y=0，

∴x2+x=0，

∴x=0或x=﹣4，

∴A（﹣4，0），

∵B（4，8），

∴直線AB解析式為y=x+4，設(shè)直線PC的解析式為y=x+m，

∵C（2，4），

∴直線PC的解析式為y=x+2②，

聯(lián)立①②解得，（舍）或，

∴P（﹣2，﹣2+2）．