Question

【題目】如圖，在中，，AC=4，BC=3，O是AB上一點(diǎn)，且AO:OB=2:5，過點(diǎn)O作垂足為D，

（1）求點(diǎn)O到直線AC的距離OD的長(zhǎng)；（圖1）

（2）若P是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作交線段BC于Q（不與B、C重合）（圖2）

①求證：；

②設(shè)，，試求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

③若與相似，求的長(zhǎng)度.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②；③或

【解析】

（1）首先作，判斷出，推得，即可判斷出；然后根據(jù)，求出OD的長(zhǎng)度，就是點(diǎn)O到AC的距離；
（2）①根據(jù)同角的余角相等得到，然后利用相似三角形的判定定理證明；
②由（1）可知，求出AD、PD的長(zhǎng)度各是多少，然后根據(jù)，即可推得，據(jù)此求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域即可；
③根據(jù)題意，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)PQ平分時(shí)，分類討論，根據(jù)②中函數(shù)解析式和角平分線的性質(zhì)，分別求出AP長(zhǎng)是多少即可.

解：（1）如圖1，作，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得，
即點(diǎn)O到AC的距離是；
（2）①如圖3，作，

∵，
∴，
又∵，
∴，
在和△QPC中， ，
∴；
②如圖3，作，

，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴，
∴；
③如圖4，當(dāng)時(shí)，與相似，

∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
解得或，
如圖5，作于點(diǎn)E，

當(dāng)PQ平分時(shí)，，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
即點(diǎn)P為CD的中點(diǎn),
由，可得，
解得，
綜上可得：當(dāng)與相似時(shí)，、或.