Question

【題目】在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB<AC，M 是 BC 邊的中點，MN⊥BC交 AC 于點 N，動點 P 在線段 BA 上以每秒 cm 的速度由點 B 向點 A 運動．同時， 動點 Q 在線段 AC 上由點 N 向點 C 運動，且始終保持 MQ⊥MP． 一個點到終點時，兩個點同時停止運動．設運動時間為 t 秒(t>0)．

(1)△PBM 與△QNM 相似嗎？請說明理由；

(2)若∠ABC＝60°，AB＝4 cm．

①求動點 Q 的運動速度；

②設△APQ 的面積為 s(cm2)，求 S 與 t 的函數(shù)關系式．（不必寫出 t 的取值范圍）

(3)探求 BP、PQ、CQ 三者之間的數(shù)量關系，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）①v=1;②S= (3)

【解析】

（1）由條件可以得出∠BMP=∠NMQ，∠B=∠MNC，就可以得出△PBM∽△QNM；
（2）①根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和中垂線的性質(zhì)BM、MN的值，再由△PBM∽△QNM就可以求出Q的運動速度；
②先由條件表示出AN、AP和AQ，再由三角形的面積公式就可以求出其解析式；
（3）延長QM到D，使MD=MQ，連接PD、BD、BQ、CD，就可以得出四邊形BDCQ為平行四邊形，再由勾股定理和中垂線的性質(zhì)就可以得出PQ2=CQ2+BP2．

解：（1）△PBM∽△QNM．
理由：
∵MQ⊥MP，MN⊥BC，
∴∠PMN+∠PMB=90°，∠QMN+∠PMN=90°，
∴∠PMB=∠QMN．
∵∠B+∠C=90°，∠C+∠MNQ=90°，
∴∠B=∠MNQ，
∴△PBM∽△QNM．

（2）∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，
∴BC=2AB=8cm．AC=12cm，
∵MN垂直平分BC，
∴BM=CM=4cm．
∵∠C=30°，
∴MN=CM=4cm．
①設Q點的運動速度為v（cm/s）．
∵△PBM∽△QNM．
∴，
∴，
∴v=1，
答：Q點的運動速度為1cm/s．

②∵AN=AC-NC=12-8=4cm，
∴AP=4-t，AQ=4+t，
∴S=APAQ=（4-t）（4+t）=-t2+8．（0＜t≤4）
當t＞4時，AP=-t+4=（4-t）．
則△APQ的面積為：S=APAQ=（-t+4）（4+t）=t2-8

（3）PQ2=CQ2+BP2．
理由：延長QM到D，使MD=MQ，連接PD、BD、BQ、CD，

∵M是BC邊的中點，
∴BM=CM，
∴四邊形BDCQ是平行四邊形，
∴BD∥CQ，BD=CQ．
∴∠BAC+∠ABD=180°．
∵∠BAC=90°，
∴∠ABD=90°，
在Rt△PBD中，由勾股定理得：
PD2=BP2+BD2，
∴PD2=BP2+CQ2．
∵MQ⊥MP，MQ=MD，
∴PQ=PD，
∴PQ2=BP2+CQ2．