Question

如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，且BF是⊙O的切線，BF交AC的延長線于F．
（1）求證：∠CBF=

1

2

∠CAB．
（2）若AB=5，sin∠CBF=

5

5

，求BC和BF的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接AE，由圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合切線的性質(zhì)可證得∠CBF=∠BAE，可證得結(jié)論；
（2）由（1）結(jié)論結(jié)合正弦值，在Rt△ABE中可求得BE，可求出BC，過C作CM⊥BF，在Rt△BCM中可求得BM，CM，再利用平行線分線段成比例可求得BF．

解答：（1）證明：如圖1，連結(jié)AE．

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=

1

2

∠BAC．
∵BF是⊙O的切線，
∴∠CBF=∠BAE，
∴∠CBF=

1

2

∠CAB．
（2）解：由（1）可知∠CBF=∠BAE，
∴sin∠BAE=sin∠CBF=

5

5

，
在Rt△ABE中，sin∠BAE=

BE

AB

，
∴

BE

5

=

5

5

，
∴BE=

5

，
∴BC=2

5

，
如圖2，過C作CM⊥BF于點(diǎn)M，

則sin∠CBF=

CM

BC

=

5

5

，
即

CM

2 5

=

5

5

，解得CM=2，由勾股定理可求得BM=4，
又∵AB∥CM，
∴

CM

AB

=

BF-BM

BF

，
即

2

5

=

BF-4

BF

，解得BF=

20

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查切線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義等知識點(diǎn)，掌握弦切角定理及三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵，注意平行線分線段定理的應(yīng)用．