Question

20．如圖，正方形ABCD中，E、F分別是CD、DA的中點(diǎn)．BE與CF相交于點(diǎn)P．
（1）求證：BE⊥CF；
（2）判斷PA與AB的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先依據(jù)SAS證明△BCE≌△CDF，由全等三角形的性質(zhì)可證明∠CBE=∠DCF，然后依據(jù)等量代換可證明∠CBE+∠BCP=90°；
（2）延長(zhǎng)CF、BA交于點(diǎn)M，再證△CDF≌△AMF得BA=MA由直角三角形中斜邊中線等于斜邊的一半，可得Rt△MBP中AP=$\frac{1}{2}$BM，即AP=AB．

解答 證明：（1）∵點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD的邊CD和AD的中點(diǎn)，

∴EC=DF．
在△BCE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCE=∠CDF}\\{CE=DF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CDF．
∴∠CBE=∠DCF．
∵∠DCF+∠BCP=90°，
∴∠CBE+∠BCP=90°，
∴BE⊥FC．
（2）延長(zhǎng)CF、BA交于點(diǎn)M．

∵FC⊥EB，
∴∠BPM=90°．
∵在△CDF和△AMF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CFD=∠MFA}\\{∠CDF=∠MAF}\\{FD=FA}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△AMF，
∴CD=AM．
∵CD=AB，
∴AB=AM．
∴PA是直角△BPM斜邊BM上的中線，
∴AP=$\frac{1}{2}$MB．
∴AP=AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形各邊長(zhǎng)相等、各內(nèi)角為直角的性質(zhì)，全等三角形的判定和對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線長(zhǎng)為斜邊長(zhǎng)一半的性質(zhì)，本題中求證△CDF≌△AMF是解題的關(guān)鍵