Question

如圖，兩同心圓的半徑分別為6、10，矩形ABCD的邊AB、CD分別為兩圓的弦．當(dāng)矩形面積取最大值時(shí)，其周長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：先求出矩形ABCD的面積=4三角形AOD的面積，求出三角形AOD的面積最大時(shí)，∠AOD=90°，求出OM，即可求出AB，即可求出周長(zhǎng)．

解答：解：連接OA，OD，作OP⊥AB于P，OM⊥AD于M，ON⊥CD于N，
過(guò)D作DE⊥OA于E，
∵矩形APND的面積是AD×OM，△AOD的面積=

1

2

AD×OM，矩形BCNP的面積是OM×BC，
∴矩形的面積是三角形AOD的面積的4倍，
在Rt△DEO中，DE=OD×sin∠DOE=OD×sin∠AOD，
∵OA，OD的長(zhǎng)是定值，S_△AOD=

1

2

×OA×OD×sin∠AOD，
∴要使矩形ABCD的面積最大，必須△AOD的面積最大，
即當(dāng)∠AOD的正弦值最大時(shí)，三角形AOD的面積最大，
∵當(dāng)∠AOD≤90°時(shí)，正弦值隨角度的增大而增大，
即當(dāng)∠AOD=90°，S_△AOD最大，
則勾股定理得：AD=

62+102

=2

34

，
根據(jù)三角形的面積公式求得OM=

15 34

17

，即AB=

30 34

17

．則矩形ABCD的周長(zhǎng)是2（2

34

+

30 34

17

）=

128 34

17

，
故答案為：

128 34

17

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形進(jìn)而求出∠AOD的值，有一定的難度．