Question

10．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)P在線段CD上，且AD=2DB，∠APB=135°
（1）探究線段AP和BP之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）若AC=3，求CP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：AP=$\sqrt{2}$PB．如圖，作AP′⊥CD于P′，連接BP′，作BE⊥CD于E．理由同一法證明P與P′是同一點(diǎn)，即可解決問(wèn)題．
（2）在Rt△ACP中，設(shè)PC=m，則AP=2m，理由勾股定理即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）結(jié)論：AP=$\sqrt{2}$PB．
理由：如圖，作AP′⊥CD于P′，連接BP′，作BE⊥CD于E．

∵AP′∥BE，
∴$\frac{AD}{DB}$=$\frac{AP′}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠ACP′+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACP′=∠CBE，
在△ACP′和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACP′=∠CBE}\\{∠AP′C=∠E=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACP′≌△CBE，
∴AP′=EC=2EB，CP′=BE，
∴P′C=P′E=EB，
∴∠EP′B=∠EBP′=45°，
∴∠AP′B=∠AP′E+∠BP′E=135°，∵∠APB=135°，
∴P與P′共點(diǎn)，
設(shè)BE=EP=a，則AP=2a，PB=$\sqrt{2}$a，
∴AP：PB=$\sqrt{2}$：1，
∴AP=$\sqrt{2}$PB．

（2）在Rt△ACP中，設(shè)PC=m，則AP=2m，
∴AC²=PC²+AP²，
∴9=5m²，
∵m＞0，
∴m=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴CP的長(zhǎng)為$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理由同一法證明，學(xué)會(huì)添加輔助線方法，題目比較難．