Question

2．如圖，已知直線y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，過(guò)A，B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C（3，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△ABP是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．由一次函數(shù)的解析式可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）假設(shè)存在，根據(jù)拋物線的解析式找出拋物線的對(duì)稱軸，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離找出線段PA、PB和AB的長(zhǎng)度，分三種情況討論△ABP為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)找出兩邊相等，從而找出關(guān)于m的一元二次方程，解方程求出m值，從而即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．
∵直線y=3x+3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，
∴A（-1，0），B（0，3）．
又拋物線經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，
∴根據(jù)題意，得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
（2）假設(shè)存在．
∵拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，
∴該拋物線的對(duì)稱軸為x=1．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，m），又A（-1，0），B（0，3），
則AP=$\sqrt{（-1-1）^{2}+{m}^{2}}$=$\sqrt{4+{m}^{2}}$，BP=$\sqrt{（0-1）^{2}+（3-m）^{2}}$=$\sqrt{1+（3-m）^{2}}$，AB=$\sqrt{（-1-0）^{2}+（0-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$．
△ABP是等腰三角形分三種情況：
①當(dāng)AB=AP時(shí)，$\sqrt{4+{m}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
解得：m₁=$\sqrt{6}$，m₂=-$\sqrt{6}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）；
②當(dāng)AB=BP時(shí)，$\sqrt{10}$=$\sqrt{1+（3-m）^{2}}$，
解得：m₃=0，m₄=6（A、B、P三點(diǎn)共線，舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）；
③當(dāng)AP=BP時(shí)，$\sqrt{4+{m}^{2}}$=$\sqrt{1+（3-m）^{2}}$，
解得：m₅=m₆=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）．
綜上可得：在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使△ABP是等腰三角形，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{6}$）、（1，-$\sqrt{6}$）、（1，0）或（1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）分類討論．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式表示出線段的長(zhǎng)度，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)找出關(guān)于P點(diǎn)縱坐標(biāo)m的一元二次方程是關(guān)鍵．