Question

19．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線(xiàn)交∠CAB的平分線(xiàn)于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線(xiàn)交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接BE，交AD于點(diǎn)G．
（1）求證：四邊形ABDE是菱形；
（2）若BD=14，cos∠GBH=$\frac{7}{8}$，求GH的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先證明四邊形ABDE是平行四邊形，再根據(jù)角平分線(xiàn)和平行線(xiàn)的性質(zhì)證明∠BAD=∠ADB，然后可得AB=BD，從而可得結(jié)論；
（2）首先證明∠GAB=∠GBH，根據(jù)cos∠GBH=$\frac{7}{8}$可得cos∠GAB=$\frac{7}{8}$，根據(jù)余弦定義可得$\frac{AB}{AH}$=$\frac{AG}{AB}$=$\frac{7}{8}$，再由菱形的性質(zhì)可得AB=BD=14，從而可得AH、AG的長(zhǎng)，進(jìn)而可得GH的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵AC∥BD，AB∥ED，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∵AC∥BD，
∴∠CAD=∠ADB，
∴∠BAD=∠ADB，
∴AB=BD，
∴四邊形ABDE是菱形；

（2）解：∵∠ABC=90°，
∴∠GBH+∠ABG=90°，
∵AD⊥BE，
∴∠GAB+∠ABG=90°，
∴∠GAB=∠GBH，
∵cos∠GBH=$\frac{7}{8}$，
∴cos∠GAB=$\frac{7}{8}$，
∴$\frac{AB}{AH}$=$\frac{AG}{AB}$=$\frac{7}{8}$，
∵四邊形ABDE是菱形，BD=14，
∴AB=BD=14，
∴AH=16，AG=$\frac{49}{4}$，
∴GH=AH-AG=$\frac{15}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，以及余弦定義，關(guān)鍵是掌握一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，菱形四邊相等，對(duì)角線(xiàn)互相垂直．